Class 6 Maths Chapter 6 Solutions in Hindi अभाज्य समय

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Ganita Prakash Class 6 Maths Chapter 6 Solutions in Hindi Medium

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 132)

प्रश्न 1.
लुप्त पदों को ज्ञात कीजिए-
(a) आयत का परिमाप = 14 सेमी चौड़ाई = 2 सेमी; लंबाई = ………………………….. ?
(b) वर्ग का परिमाप = एक भुजा की लंबाई 20 सेमी = ………………… ?
(c) आयत का परिमाप = लंबाई 12 मी. = चौड़ाई 3 मी. = …………………………. ?
हल:
(a) हम जानते हैं कि आयत का परिमाप
= 2 (l + b)

यहाँ, आयत का परिमाप = 14 सेमी और चौड़ाई b = 2 सेमी, l = ?
इस प्रकार 14 = 2 (l + 2)
⇒ 14 = 2l + 4
⇒ 2l = 14 – 4
⇒ l = \(\frac{10}{2}\) = 5 cm

(b) हम जानते हैं कि वर्ग का परिमाप = 4 × a
जहाँ a = वर्ग की भुजा

∴ 20 = 4 × a
⇒ a = \(\frac{20}{4}\) = 5 cm

(c) आयत का परिमाप = 2(l + b)
⇒ 12 = 2 (3 + b)
⇒ 12 = 6 + 2b
⇒ 12 – 6 = 2b
⇒ b = \(\frac{6}{2}\)
= 3 m
⇒ b = 3 m

प्रश्न 2.
तार के टुकड़े का प्रयोग करके एक आयत बनाया गया है जिसकी भुजाओं की लंबाई 5 cm और 3 cm है। यदि तार को सीधा करके एक वर्ग बनाया जाए, तब वर्ग की एक भुजा की लंबाई क्या होगी?
हल:
यहाँ आयत का परिमाप
= 2(5 + 3)
= 2 × 8 = 16 cm
अब तार को सीधा किया जाता है और फिर एक वर्ग बनाने के लिए मोड़ा जाता है।
∴ वर्ग का परिमाप = 16 cm
⇒ 4a = 16 cm
⇒ a = \(\frac{16}{4}\)
= 4 cm
यह वर्ग की भुजा की आवश्यक लंबाई है।

प्रश्न 3.
यदि एक त्रिभुज का परिमाप 55 सेमी है और दो भुजाओं की लंबाई क्रमश: 20 सेमी और 14 सेमी है, तो तीसरी भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए। हल:
माना त्रिभुज की तीसरी भुजा की लंबाई x सेमी है, तब

त्रिभुज का परिमाप = AB + BC + CA
⇒ 55 = 20 + 14 + x
⇒ 55 = 34 + x
⇒ x = 55 – 34 = 21 cm

प्रश्न 4.
एक आयताकार पार्क जिसकी लंबाई 150 m और चौड़ाई 120 m है, पार्क के चारों ओर ₹ 40 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हलः
बाड़ की लंबाई आयताकार पार्क का परिमाप है।
दिया गया है कि आयताकार पार्क की लंबाई = 150 m और चौड़ाई = 120 m
∴ परिमाप = 2 (l + b)
= 2 (150 + 120)
= 2 (270)
= 540 m
अब प्रति मीटर बाड़ लगाने का व्यय
= ₹ 40
∴ आयताकार पार्क के चारों ओर बाड़ लगाने का व्यय
= 40 × 540= ₹ 21600

प्रश्न 5.
एक धागे के टुकड़े की लंबाई 36 सेमी है। प्रत्येक भुजा की लंबाई क्या होगी, यदि इस धागे से बनाया जाता है-
(a) एक वर्ग,
(b) एक त्रिभुज जिसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की हों, और
(c) एक सम षट्भुज (छः भुजाओं वाली बंद आकृति जिसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की हों)?
हल:
(a) दिया गया है, एक धागे का टुकड़ा 36 सेमी लंबा है
∴ वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई
= 4a = परिमाप = 36
⇒ a = \(\frac{36}{4}\) = 9 cm

(b) त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई
= 3a (दिया गया है)
⇒ 36 = За
⇒ a = \(\frac{36}{3}\) = 12 cm

(c) षट्भुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई
= 36
⇒ = 6а
⇒ a = \(\frac{36}{6}\) = 6 cm

प्रश्न 6.
एक किसान के आयताकार भूखंड की लंबाई तथा चौड़ाई क्रमश: 230 मी. तथा 160 मी. है। वह भूखंड के चारों ओर रस्सी द्वारा तीन पूरे चक्कर की बाड़ बनाना चाहता है। जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। किसान के द्वारा प्रयोग की गई रस्सी की कुल लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:
आयताकार भूखंड का परिमाप
= 2 (l + b)
यहाँ l = 230 m, b = 160 m
∴ P = 2 (230 + 160)
= 2 (390)
= 780 m
एक चक्कर में किसान द्वारा तय की गई दूरी
= 780 m
∴ आवश्यक रस्सी की कुल लंबाई
= 3 × 780 = 2340m

यहाँ, आयताकार पथ PQRS का परिमाप
= 2 × (l + b)
= 2 × (70 + 40 )
= 2 × 110 = 220m
और आयताकार पथ ABCD का परिमाप
= 2 × (60 + 30) = 2 × 90 = 180m

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 133)

प्रश्न 1.

हल:

यहाँ, आयताकार पथ PQRS का परिमाप
= 2 × (l + b)
= 2 × (70 + 40 )
= 2 × 110 = 220 m
और आयताकार पथ ABCD का परिमाप
= 2 × (60 + 30 ) = 2 × 90 = 180m

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 133 – 134)

प्रश्न 1.
अक्षी द्वारा 5 चक्करों में तय की गई कुल दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
अक्षी द्वारा 5 चक्करों में तय की गई कुल दूरी
= 5 × PQRS का परिमाप
= 5 × 220 = 1100 m

प्रश्न 2.
तोशी द्वारा 7 चक्करों में तय की गई कुल दूरी ज्ञात कीजिए। अक्षी और तोशी में से किसने अधिक दूरी तय की?
हल:
तोशी द्वारा 7 चक्करों में तय की गई कुल दूरी
= 7 × 180 = 1260 m
∵ 1260 m > 1100 m
अतः तोशी ने अधिक दूरी तय की।

प्रश्न 3.
सोचिए और निर्देशानुसार स्थितियों को चिह्नित कीजिए-
(a) अक्षी 250m दौड़ने के पश्चात् जहाँ पहुँचेगी, उस बिंदु पर ‘A’ चिह्नित कीजिए।
(b) 500 m दौड़ने के पश्चात् अक्षी जहाँ पहुँचेगी, उस बिंदु पर ‘B’ चिह्नित कीजिए।
(c) अब, अक्षी 1000 m दौड़ चुकी है। अब बताइए,
उसने अपने पथ पर कितने चक्कर पूरे लगाए ? उसकी इस स्थिति के बिंदु पर ‘C’ चिह्नित कीजिए।
(d) 250 m दौड़ने के पश्चात् तोशी जहाँ पहुँचेगी, उस बिंदु पर ‘X’ चिह्नित कीजिए।
(e) 500 m दौड़ने के पश्चात् तोशी जहाँ पहुँचेगी, उस बिंदु पर ‘Y’ चिह्नित कीजिए।
(f) अब, तोशी 1000 m दौड़ चुकी है। उसने अपने पथ पर कितने चक्कर पूरे किए? उसकी स्थिति के बिंदु पर ‘Z’ चिह्नित कीजिए।
हल:
(a) यहाँ.
1. एक पूरा चक्कर = 220 m
2. अक्षी द्वारा चली गई दूरी = 250 m
3. एक चक्कर से आगे की अतिरिक्त दूरी
= 250 – 220 = 30 m
चूँकि अक्षी ने पहले ही एक चक्कर पूरा कर लिया है,
इसलिए वह अपने दूसरे चक्कर में 30 m जाएगी। इसलिए, 30 m और दौड़ने के बाद, वह प्रारंभिक बिंदु से 30 m दूर पथ की लंबाई की तरफ होगी।

इसलिए, प्रारंभिक बिंदु से पथ की लंबाई के साथ 30 m की दूरी पर बिंदु ‘A’ चिह्नित करते हैं।

(b) प्रति चक्कर दूरी = 220 m
अक्षी द्वारा चली गई कुल दूरी = 500 m
सबसे पहले, हम यह पता लगाएँगे कि उसने कितने पूरे चक्कर लगाए-

पूरे चक्करों की संख्या = \(\frac{500}{220}\) = 2.27 (लगभग) इसका अर्थ है कि अक्षी 2 चक्कर पूरे करती है और
फिर अतिरिक्त दूरी दौड़ती है = 500 – (2 × 220) = 60 m
इसलिए अक्षी प्रारंभिक बिंदु से पथ की लंबाई के साथ 60m की दूरी पर होगी, हम पथ पर इस स्थान पर बिंदु ‘B’ चिह्नित करते हैं।

(c) अब, अक्षी ने 1000 m दौड़ लगाई। यह जानने के लिए कि उसने कितने चक्कर पूरे किए, हम उसके द्वारा दौड़ी गई कुल दूरी को पथ के परिमाप से भाग करते हैं।
पूरे चक्करों की संख्या = \(\frac{1000 \mathrm{~m}}{220 \mathrm{~m}}\) ≈ 4.545 चक्कर। अक्षी ने 4 चक्कर पूरे कर लिए हैं और वह अपने 5वें चक्कर के आधे रास्ते पर है। पथ पर उसका स्थान ज्ञात करने के लिए हम 4 चक्करों के बाद शेष दूरी की गणना करते हैं:
शेष दूरी
= 1000 m – (4 × 220m)
= 1000 m – 880 m
= 120 m
चूँकि उसने 4 चक्कर पूरे करने के बाद अतिरिक्त 120m दौड़ लगाई है अक्षी प्रारंभिक बिंदु से 120m दूर होगी। यदि हम उसके प्रारंभिक बिंदु को ‘P’ से चिह्नित करें, तो 1000 m दौड़ने के बाद उसकी स्थिति को ‘C’ से चिह्नित करते हैं, जो पथ पर ‘A’ से 120m की दूरी पर है।

(d) यहाँ
1. पथ का परिमाप = 180 m
2. तोशी द्वारा चली गई दूरी = 250 m
चूँकि 250m एक पूर्ण चक्कर (180 m) से अधिक है, तोशी ने एक पूर्ण चक्कर पूरा कर लिया होगा और उसके पास दौड़ने के लिए 70m (250 – 180 = 70 m) बचे होंगे। इसलिए, तोशी प्रारंभिक बिंदु से पथ की लंबाई के साथ 70 मीटर दूर होगी। हम पथ पर इस बिंदु पर ‘X’ का चिह्न लगाते हैं।

(e) दिया है, तोशी ने 2 चक्कर पूरे करने के बाद अतिरिक्त 140 m दौड़ लगाई है, उसकी स्थिति प्रारंभिक बिंदु से 140m होगी। यदि हम उसके प्रारंभिक बिंदु को ‘A’ के रूप में चिह्नित करते हैं, तो 500 m दौड़ने के बाद उसकी स्थिति को ‘Y’ के रूप में चिह्नित किया जा सकता है।

(f) यहाँ, हमें पथ के परिमाप से उसके द्वारा दौड़ी गई कुल दूरी को विभाजित करके यह पता लगाना है कि तोशी ने कितने चक्कर पूरे किए हैं-
पूरे चक्करों की संख्या = \(\frac{1000}{180}\) ≈ 5.56
तोशी ने 5 चक्कर पूरे किए हैं।
शेष दूरी
= 1000 m – (5 × 180 m )
= 1000 m – 900 m
= 100 m
प्रारंभिक बिंदु से शुरू करते हुए, तोशी अपने 6 वें चक्कर में 100 m तक पहुँच चुकी होगी। चूँकि पथ 60m लंबा और 30m चौड़ा है, वह पथ की लंबाई के साथ कही होगी। हम इस स्थिति को ‘Z’ से चिह्नित कर सकते हैं।

गहन सोच (पृष्ठ 134)

प्रश्न 1.
सामान्यतः दौड़ में सभी धावकों के लिए एक समान अंतिम रेखा होती है। यहाँ दो वर्गाकार दौड़ पथ है, जिसमें भीतरी पथ की प्रत्येक भुजा 100m है तथा बाहरी पथ की प्रत्येक भुजा 150m है। दोनों धावकों के लिए समापन रेखा को चित्र में झंडों द्वारा दर्शाया गया है, जो पथों की भुजाओं में से एक भुजा के मध्य में हैं। यदि कुल दौड़ 350m की है, तो हमें यह पता लगाना होगा कि इन दो पथों पर दोनों धावकों की प्रारंभिक स्थिति कहाँ होनी चाहिए ताकि 350m दौड़ने के पश्चात् दोनों की समापन रेखा एक समान हो । भीतरी पथ पर धावक के प्रारंभिक या शुरुआती बिंदु को A के रूप में और बाहरी पथ पर धावक के शुरुआती या प्रारंभिक बिंदु को B के रूप में चिह्नित कीजिए।
हल:
भीतरी पथ (प्रत्येक भुजा 100 m)
परिमाप की गणना-
भीतरी पथ का परिमाप (4 गुना 100 = 400)m है।
दौड़ने की दूरी

भीतरी पथ पर धावक को 350 m दौड़ना है।
प्रारंभिक स्थिति (A):
चूँकि परिमाप 400 m है, इसलिए धावक उभयनिष्ठ समापन रेखा (400 – 350 = 50 m) से 50 m पहले दौड़ना शुरू करेगा।
बाहरी पथ (प्रत्येक भुजा 150 m)
परिमाप की गणना-
बाहरी पथ का परिमाप ( 4 गुना 150 = 600) मीटर है।
दौड़ने की दूरी
बाहरी पथ पर धावक को भी 350 मीटर दौड़ना होगा।

प्रारंभिक स्थिति (B):
चूँकि परिमाप 600 मीटर है, इसलिए धावक उभयनिष्ठ समापन रेखा (600 350 = 250 मीटर) से 250 मीटर पहले दौड़ना शुरू करेगा।

सारांश

भीतरी पथ पर धावक A उभयनिष्ठ समापन रेखा से 50 मीटर पहले शुरू होता है। बाहरी पथ पर धावक B उभयनिष्ठ समापन रेखा से 250 मीटर पहले शुरू होता है।

(पृष्ठ 136)

प्रश्न 1.
अपने आस-पास विभिन्न वस्तुएँ खोजिए जो कि सम आकृतियाँ हों और उनका परिमाप ज्ञात कीजिए। साथ ही अन्य सम बहुभुजों के परिमाप के लिए अपनी समझ को व्यापक (generalised) रूप दीजिए।
हलः
सम आकृतियाँ वाली कुछ उभयनिष्ठ वस्तुएँ और उनका परिमाप निकालना
यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं-

1. वर्गाकार टेबल
आकारः वर्गाकार
भुजा की लंबाई = 1 मीटर
परिमाप = 4 × 1 = 4 मीटर

2. समबाहु त्रिभुज घड़ी
आकारः समबाहु त्रिभुज
भुजा की लंबाई = 30 सेमी
परिमाप 3 × 30 = 90 सेमी

3. षट्कोणीय टाइलः
आकारः सम षट्कोण
भुजा की लंबाई = 10 सेमी
परिमाप = 6 × 10 = 60 सेमी

व्यापक रूप में, एक सम बहुभुज का परिमाप = (भुजाओं की संख्या) × (बहुभुज की भुजा की लंबाई) इकाइयाँ

(पृष्ठ 136)

प्रश्न 1.
विभाजित कीजिए और फिर से जोड़िए

एक आयताकार कागज की पर्ची, जिसकी विमाएँ (भुजाएँ) 6 सेमी × 4 सेमी है, को दो बराबर टुकड़ों में काटा गया है, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। इन दोनों टुकड़ों को विभिन्न तरीकों से जोड़ा जाता है।

उदाहरण के लिए, व्यवस्था a का परिमाप 28 cm है।

नीचे दी गई अन्य सभी व्यवस्थाओं की सीमा की लंबाई (अर्थात् परिमाप) ज्ञात कीज िए।

हलः
(b)
∴ सीमा की कुल लंबाई
= AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA
= 6 + 2 + 6 + 2 + 4 + 6 + 2 = 28 cm
(c)
सीमा की कुल लंबाई
= AB + BC + CD + DE +EF + FG + GH + HA
= 2 + 6 + 2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2
= 28 cm
(d)
सीमा की कुल लंबाई
= AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HA
= 6 + 2 + 3 + 2 + 6 + 2 + 3 + 2
= 26 cm

प्रश्न 2.
उपर्युक्त चित्रित दोनों टुकड़ों को व्यवस्थित करके एक आकृति बनाइए जिसका परिमाप 22 cm हो ।
हलः
दोनों टुकड़ों को इस तरह व्यवस्थित करें कि वे आवश्यक परिमाप के साथ एक नई आकृति बना लें-

सीमा की कुल लंबाई = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HA
= 2 + 1 + 2 + 6 + 2 + 1 + 2 + 6
= 22 cm

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 138)

प्रश्न 1.
25 m लंबे आयताकार बाग का क्षेत्रफल 300 वर्ग मी. है। इस बाग की चौड़ाई क्या है?
हल:
दिया है, आयताकार बाग का क्षेत्रफल = 300 वर्ग मीटर
और लंबाई = 25 मीटर
आयताकार बाग का क्षेत्रफल = l × b
⇒ 300 = 25 × b
⇒ b = \(\frac{300}{25}\) = 12 m

प्रश्न 2.
8 रुपए प्रति 100 वर्ग मी. की दर से 500 m लंबे और 200 m चौड़े आयताकार भूखंड पर टाइल लगाने की लागत क्या होगी?
हलः
यहाँ, लंबाई = 500m और चौड़ाई = 200m
अतः आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल
= लंबाई × चौड़ाई
= 500 × 200
= 1,00,000 m²
अब आयताकार भूखंड पर टाइल लगाने की लागत
= \(\frac{800}{100}\)
अतः आयताकार भूखंड के 1,00,000 वर्ग मीटर पर
टाइल लगाने की लागत = \(\frac{800}{100}\) × 100000 = ₹ 8,000

प्रश्न 3.
एक आयताकार नारियल वाटिका 100 m लंबी और 50 mm चौड़ी है। यदि प्रत्येक नारियल के पेड़ के लिए 25 वर्ग मी. जगह चाहिए, तो इस वाटिका में अधिकतम कितने पेड़ लगाए जा सकते हैं?
हल:
आयताकार नारियल वाटिका का क्षेत्रफल
= 100 × 50 = 5000 वर्ग मीटर
दिया है कि प्रत्येक नारियल के पेड़ को 25 वर्ग मीटर की आवश्यकता है
तो,इस बाग में लगाए जा सकने वाले पेड़ों की अधिकतम संख्या = \(\frac{5000}{25}\) = 200

प्रश्न 4.
नीचे दी गई आकृतियों को आयताकार भागों में बाँटकर, उनके क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (सभी माप मीटर में दिए गए हैं)।

हल:
(a) दी गई आकृति को I, II, III और IV आयतों में विभाजित करने पर हमें निम्न आकृति प्राप्त होती है।

यहाँ, आयत I का क्षेत्रफल
= लंबाई × चौड़ाई
= 4 सेमी × 3 सेमी
= 12 वर्ग सेमी
आयत II का क्षेत्रफल
= लंबाई × चौड़ाई
= 3 सेमी × 2 सेमी = 6 वर्ग सेमी

आयत III का क्षेत्रफल
= लंबाई × चौड़ाई
= 4 सेमी × 1 सेमी
= 4 वर्ग सेमी

आयत IV का क्षेत्रफल
= लंबाई × चौड़ाई
= 3 सेमी × 2 सेमी
= 6 वर्ग सेमी
पूरी आकृति का कुल क्षेत्रफल = 12 वर्ग सेमी + 6 वर्ग सेमी + 4 वर्ग सेमी + 6 वर्ग
सेमी
= 28 वर्ग सेमी
इसलिए आकृति (a) का कुल क्षेत्रफल = 28 वर्ग सेमी है।

(b) इसी प्रकार, आकृति (b) को I, II और III आयतों में विभाजित करने पर हमें निम्न आकृति प्राप्त होती है।

आयत I का क्षेत्रफल
= लंबाई × चौड़ाई
= 3 सेमी × 1 सेमी
= 3 वर्ग सेमी

आयत II का क्षेत्रफल
= लंबाई × चौड़ाई
= 3 सेमी × 1 सेमी
= 3 वर्ग सेमी

आयत III का क्षेत्रफल
= लंबाई × चौड़ाई
= 3 सेमी × 1 सेमी
= 3 वर्ग सेमी
आकृति का कुल क्षेत्रफल
= 3 वर्ग सेमी + 3 वर्ग सेमी 3 वर्ग सेमी
= 9 वर्ग सेमी।
इसलिए, आकृति (b) का कुल क्षेत्रफल 9 वर्ग सेमी है।

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 139)

आपकी पाठ्यपुस्तक के अंत में दिए गए टैनग्राम के टुकड़े काटिए।

प्रश्न 1.
खोजिए और पता लगाइए कि कितने टुकड़ों का क्षेत्रफल एक समान है।
हल:
यहाँ दो टुकड़े (A और B) हैं जिनका क्षेत्रफल एक समान है।

प्रश्न 2.
आकार D, आकार C की तुलना में कितने गुना बड़ा है? C, D और E में क्या संबंध है।
हलः
आकार D, आकार C से दो गुना बड़ा है। आकृति से स्पष्ट है कि आकारों C और E का क्षेत्रफल आकार D के क्षेत्रफल के बराबर है।

प्रश्न 3.
किस आकार का क्षेत्रफल अधिक है-आकार D या आकार F ? अपने उत्तर का कारण बताइए।
हल:
चूँकि मध्यम त्रिभुज और वर्ग प्रत्येक दो छोटे टैनग्राम त्रिभुजों से बने हैं, उनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल का 2x है। इसलिए दोनों का क्षेत्रफल समान है।

प्रश्न 4.
किस आकार का क्षेत्रफल अधिक है-आकार F या G का? अपने उत्तर का कारण बताइए।
हल:
चूँकि मध्यम त्रिभुज और समचतुर्भुज दो छोटे टैनग्राम त्रिभुजों से बने हैं, इसलिए उनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल का 2x है। इसलिए दोनों का क्षेत्रफल समान है।

प्रश्न 5.
आकार G की तुलना में आकार A का क्षेत्रफल कितना है ? क्या यह दोगुना बड़ा है? क्या यह चार गुना बड़ा है? संकेत-टैनग्राम के टुकड़ों को काटने के पश्चात् एक टुकड़े को दूसरे के ऊपर रखकर हमें ज्ञात होता है कि टुकड़े A और B का क्षेत्रफल एक समान है, टुकड़े C और E का क्षेत्रफल एक समान है। आप इन टुकड़ों से देख सकते हैं कि C और E टुकड़े, D को पूरा ढक लेते हैं। इसका अर्थ है कि, D का क्षेत्रफल C या E से दोगुना है।
हलः
आकार A का क्षेत्रफल आकार G से दोगुना है।

प्रश्न 6.
क्या अब आप सातों टुकड़ों से बने बड़े वर्ग के क्षेत्रफल को C आकार के क्षेत्रफल के रूप में लिख सकते हैं?
हल:
माना C का क्षेत्रफल = x
D का क्षेत्रफल = 2C का क्षेत्रफल = 2x
E का क्षेत्रफल = C का क्षेत्रफल = x
F का क्षेत्रफल = 2C का क्षेत्रफल = 2x
G का क्षेत्रफल = 2C का क्षेत्रफल = 2x
A का क्षेत्रफल = 2F का क्षेत्रफल = 2 × 2x = 4x
B का क्षेत्रफल = A का क्षेत्रफल = 4x
इसलिए बड़े आकार का कुल क्षेत्रफल = A + B + C+ D + E + F + G का क्षेत्रफल
= 16x = 16 C
इसका अर्थ है कि बड़े वर्ग का क्षेत्रफल आकार C के क्षेत्रफल का 16 गुना है।

प्रश्न 7.
इन सातों टुकड़ों को व्यवस्थित करके एक आयत बनाइए । अब इस आयत का क्षेत्रफल, आकार ‘C’ के क्षेत्रफल के रूप में लिखने पर क्या प्राप्त होता है? अपने उत्तर का कारण बताइए।
हल:
सभी 7 टुकड़ों वाला टैनग्राम आयत एक टैनग्राम वर्ग है जिसमें 5 टुकड़े हैं जिन्हें दो बड़े त्रिभुजों के साथ बढ़ाया गया है। सभी सात टैन एक साथ मिलकर एक आयत बनाते हैं। इसलिए आकार C के संदर्भ में इस आयत का क्षेत्रफल 16 छोटे त्रिभुज हैं।

प्रश्न 8.
क्या इन सातों टुकड़ों से बने वर्ग और आयत के परिमाप भिन्न हैं या समान हैं? अपने उत्तर की व्याख्या कीजिए।
हलः
वर्ग का परिमाप इन 7 टुकड़ों से बने वर्ग के बराबर है क्योंकि ये टुकड़ों की व्यवस्था है।

(पृष्ठ 140)

प्रश्न 1.
निम्न आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
(i)

घिरा क्षेत्र	संख्या	अनुमानित क्षेत्रफल (वर्ग इकाई)
पूर्ण भरे वर्ग	3	3 × 1 = 3
आधा भरे वर्ग	2	2 × 1⁄2 = 1

∴ आकृति का कुल क्षेत्रफल = 3 + 1 = 4 वर्ग इकाई

(ii)

घिरा क्षेत्र	संख्या	अनुमानित क्षेत्रफल (वर्ग इकाई)
पूर्ण भरे वर्ग	6	6 × 1 = 6
आधा भरे वर्ग	6	6 × 1⁄2 = 3

∴ आकृति का कुल क्षेत्रफल
= 6 + 3 = 9 वर्ग इकाई

(iii)

घिरा क्षेत्र	संख्या	अनुमानित क्षेत्रफल (वर्ग इकाई)
पूर्ण भरे वर्ग	7	7 × 1 = 7
आधा भरे वर्ग	6	6 × 1⁄2 = 3

∴ आकृति का कुल क्षेत्रफल
= 7 + 3 = 10 वर्ग इकाई

(iv)

घिरा क्षेत्र	संख्या	अनुमानित क्षेत्रफल (वर्ग इकाई)
पूर्ण भरे वर्ग	8	8 × 1 = 7
आधा भरे वर्ग	6	6 × 1⁄2 = 3
आधे से अधिक भरे वर्ग	0

∴ आकृति का कुल क्षेत्रफल
= 8 + 3 = 11 वर्ग इकाई

(पृष्ठ 141 – 142)

आइए खोजें!

प्रश्न 1.
एक वर्गाकार ग्रिड पेपर (1 वर्ग 1 वर्ग इकाई) पर, जितने संभव हों उतने आयत बनाइए जिनकी भुजाएँ पूर्ण संख्याएँ हों तथा जिनका क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई हो।
(a) किस आयत का परिमाप सबसे अधिक है?
(b) किस आयत का परिमाप सबसे कम है?
(c) यदि आप 32 वर्ग सेमी क्षेत्रफल का आयत लेते, तो आपका उत्तर क्या होता? किसी भी क्षेत्रफल को देखते हुए, अधिकतम और न्यूनतम परिमाप वाले आयत के आकार की पहचान बताना संभव है? अपने उत्तर के लिए उदाहरण और कारण दीजिए।
हल:

(a) का परिमाप
= 2(1 + 24) = 2 × 25 = 50 इकाई

(b) का परिमाप
= 2(2 + 12) = 2 × 14 = 28 इकाई

(c) का परिमाप
= 2(4 + 6) = 2 × 10 = 20 इकाई

(d) का परिमाप
= 2(3 + 8) = 2 × 11 = 22 इकाई
(a) स्पष्टतः आयत (a ) का परिमाप सबसे अधिक है।
(b) स्पष्टतः आयत (c) का परिमाप सबसे कम है।
(c) हाँ, किसी भी क्षेत्रफल को देखते हुए, अधिकतम और न्यूनतम परिमाप वाले आयत के आकार की पहचान बताना संभव है।

अधिकतम परिमाप
किसी दिए गए क्षेत्रफल के लिए, सबसे अधिक परिमाप वाले आयत की एक भुजा यथा संभव छोटी होगी। इसका अनिवार्य रूप से अर्थ है कि आयत बहुत लंबा हो जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई है, तो 1 इकाई गुणा 24 इकाई भुजा वाले आयत का परिमाप सबसे अधिक होगा।
उदाहरण-
क्षेत्रफल = 24 वर्ग इकाइयाँ
भुजाएँ = 1 इकाई गुणा 24 इकाइयाँ
परिमाप = 2(1 + 24) = 50 इकाइयाँ

न्यूनतम परिमाप
किसी दिए गए क्षेत्रफल के लिए न्यूनतम परिमाप वाला आयत जितना संभव हो सके वर्ग के करीब होगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि सभी आयतों में से किसी दिए गए क्षेत्रफल के लिए वर्ग का परिमाप सबसे कम होता है ।
उदाहरण-
क्षेत्रफल = 24 वर्ग इकाइयाँ
भुजाएँ = 4 इकाइयाँ × 6 इकाइयाँ
(चूँकि 4 × 6 = 24)
परिमाप = 2(4 + 6) = 20 इकाइयाँ

कारण
अधिकतम परिमाप
जब एक भुजा को कम किया जाता है तब दूसरी भुजा को उसी क्षेत्रफल का बनाए रखने के लिए अधिकतम किया जाना चाहिए। इससे भुजाओं का योग बढ़ जाता है जिससे परिमाप बढ़ जाता है।

न्यूनतम परिमाप
एक वर्ग या वर्ग जैसी आकृति के भुजाओं का योग दिए गए क्षेत्रफल को न्यूनतम कर देता है, जिससे परिमाप कम हो जाता है।

(पृष्ठ 142)

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए क्या दोनों त्रिभुज एक दूसरे को पूरी तरह आच्छादित (Overlap) करते हैं। क्या उनका क्षेत्रफल एक समान है?
हल:
यदि दोनों त्रिभुज एक-दूसरे को पूरी तरह आच्छादित करते हैं, तो इसका अर्थ है कि वे सर्वांगसम हैं। सर्वांगसम त्रिभुजों का आकार समान होता है, जिसका अर्थ है कि उनका क्षेत्रफल भी समान होगा।

प्रश्न 2.
क्या आप इस प्रक्रिया से कुछ निष्कर्ष निकाल सकते हैं? यहाँ लिखिए।
हल:
सर्वांगसमः त्रिभुज एकसमान हैं, जिसका अर्थ है कि सभी संबद्ध भुजाएँ और कोण एकसमान हैं।
क्षेत्रफलः चूँकि त्रिभुज एकसमान हैं, इसलिए उनका क्षेत्रफल एकसमान है।

(पृष्ठ 143)

प्रश्न 1.
पिछली कक्षाओं की अपनी समझ का प्रयोग कर ग्रिड पेपर द्वारा किसी भी बंद आकृति के क्षेत्रफल की गणना कीजिए और-

1. नीले त्रिभुज BAD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2. लाल त्रिभुज ABE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
1. नीले त्रिभुज BAD का क्षेत्रफल

घिरा क्षेत्र	संख्या	अनुमानित क्षेत्रफल (वर्ग इकाई)
पूर्ण भरे वर्ग	6	6 × 1 = 6
आधा भरे वर्ग	2	2 × 1/2 = 1
आधे से अधिक भरे वर्ग	3	3 × 1 = 3
आधे से कम भरे वर्ग	3	0

∴ BAD का कुल क्षेत्रफल = 6 + 1 + 3 = 10 वर्ग इकाई
2. लाल त्रिभुज ABE का क्षेत्रफल

घिरा क्षेत्र	संख्या	अनुमानित क्षेत्रफल (वर्ग इकाई)
पूर्ण भरे वर्ग	5	5 × 1 = 6
आधा भरे वर्ग	2	2 × 1/2 = 1
आधे से अधिक भरे वर्ग	3	4 × 1 = 3
आधे से कम भरे वर्ग	3	0

∴ ABE का कुल क्षेत्रफल = 5 + 1 + 4 = 10 वर्ग इकाई
आयत ABCD का क्षेत्रफल
= पूरी तरह से भरे हुए वर्गों की संख्या
= 20 × 1 = 20 वर्ग इकाई

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 144)

प्रश्न 1.
नीचे दी गई आकृतियों को आयत और त्रिभुजों में विभाजित करके क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए-

हल:
(a)

घिरा क्षेत्र	संख्या	अनुमानित क्षेत्रफल (वर्ग इकाई)
पूर्ण भरे वर्ग	20	20 × 1 = 20
आधा भरे वर्ग	–	–
आधे से अधिक भरे वर्ग	4	4 × 1 = 4
आधे से कम भरे वर्ग	4	0

∴ आकृति का कुल क्षेत्रफल = 20 + 424 वर्ग इकाई

(b)

घिरा क्षेत्र	संख्या	अनुमानित क्षेत्रफल (वर्ग इकाई)
पूर्ण भरे वर्ग	25	25 × 1 = 25
आधा भरे वर्ग	0	–
आधे से अधिक भरे वर्ग	4	4 × 1 = 4
आधे से कम भरे वर्ग	4	0

∴ आकृति का कुल क्षेत्रफल = 25 + 4 = 29 वर्ग इकाई

(c)

घिरा क्षेत्र	संख्या	अनुमानित क्षेत्रफल (वर्ग इकाई)
पूर्ण भरे वर्ग	36	36 × 1 = 36
आधा भरे वर्ग	2	2 × 1/2 = 1
आधे से अधिक भरे वर्ग	8	8 × 1 = 8
आधे से कम भरे वर्ग	6	6 × 0 = 0

∴ आकृति का कुल क्षेत्रफल = 36 + 1 + 8 = 45 वर्ग इकाई

(d)

घिरा क्षेत्र	संख्या	अनुमानित क्षेत्रफल (वर्ग इकाई)
पूर्ण भरे वर्ग	13	13 × 1 = 13
आधा भरे वर्ग	0	0
आधे से अधिक भरे वर्ग	3	3 × 1 = 3
आधे से कम भरे वर्ग	2	2 × 0 = 0

∴ आकृति का कुल क्षेत्रफल = 13 + 3 = 16 वर्ग इकाई

(e)

घिरा क्षेत्रफल	संख्या	अनुमानित क्षेत्रफल (वर्ग इकाई)
पूर्ण भरे वर्ग	5	5 × 1 = 5
आधा भरे वर्ग	4	4 × 1/2 = 3
आधे से अधिक भरे वर्ग	4	4 × 1 = 4
आधे से कम भरे वर्ग	3	3 × 0 = 0

∴ आकृति का कुल क्षेत्रफल = 5 + 2 + 4 = 11 वर्ग इकाई

‘अधिक’ या ‘कम’ बनाना (पृष्ठ 145)

9 इकाई वर्ग का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित को हल कीजिए-

प्रश्न 1.
सबसे छोटा संभव परिमाप क्या होगा?
हलः
सबसे छोटा परिमाप 3 × 3 वर्ग बनाकर होता है

परिमाप = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 इकाइयाँ।

प्रश्न 2.
सबसे बड़ा संभव परिमाप क्या होगा?
हल:
वर्गों को एक सीधी रेखा में व्यवस्थित करके सबसे बड़ा परिमाप प्राप्त होता है-

परिमाप = 1 + 9 + 1 + 9 = 20 इकाइयाँ

प्रश्न 3.
18 इकाई परिमाप वाली एक आकृति बनाइए ।
हल:
एक संभावित आकृति एक L- आकार की व्यवस्था है- 6 वर्गों को एक ऊर्ध्वाधर रेखा में और 3 वर्गों को नीचे एक क्षैतिज रेखा में व्यवस्थित करें।
परिमाप = 6 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3
= 18 इकाई।

प्रश्न 4.
क्या आप उपरोक्त तीन परिमापों में से प्रत्येक के लिए अन्य आकार की आकृति बना सकते हैं या क्या उस परिमाप से केवल एक ही आकृति बन सकती है? आपका तर्क क्या होगा?
हल:
न्यूनतम परिमाप ( 12 इकाई ) : केवल 3 × 3 वर्ग से प्राप्त होता है।
अधिकतम परिमाप (20 इकाई ): केवल सीधी रेखा या दो सीधी रेखाओं को मोड़कर बनाया गया कोई पैटर्न से प्राप्त होता है।

18 इकाइयों का परिमापः कई आकृतियाँ इसे पूरा कर सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक T – आकृति या अन्य L-आकृति विन्यास।

यह तर्क इकाई वर्गों की व्यवस्था और उजागर किनारों की संख्या पर आधारित है। आकार जितना अधिक संकुचित होता है, परिधि उतनी ही छोटी होती है; और जितना अधिक लंबा होता है, परिधि उतनी ही बड़ी होती है। 18 इकाइयों जैसी अंतरिम परिधियों के लिए, वर्गों की व्यवस्था को समायोजित करके विभिन्न विन्यास बनाए जा सकते हैं।

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 149)

प्रश्न 1.
एक आयत की विमाएँ बताइए जिसका क्षेत्रफल उन दो आयतों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होगा, जिनकी विमाएँ 5 मी. × 10 मी. और 2 मी. × 7 मी. हैं।
हल:
यहाँ,
आयत 1 का क्षेत्रफल
= 5 × 10 = 50 वर्ग मीटर
आयत 2 का क्षेत्रफल
= 2 × 7 = 14 वर्ग मीटर
इन 2 आयतों के क्षेत्रफलों का योग = 50 + 14 = 64 वर्ग मीटर
अब, आयत का कुल क्षेत्रफल = 64
माना आयत की भुजाएँ हैं
लंबाई = x
चौड़ाई = y
आयत का क्षेत्रफल = x × y
माना x × y = 64
xy = 64
माना x = 1
तब y = \(\frac{64}{1}\) = 64

यदि x = 2
तब y = \(\frac{64}{2}\) = 32

इसलिए आयत की विमाएँ (1 × 64), (2× 32) है।

प्रश्न 2.
1000 वर्ग मी. क्षेत्रफल वाले आयताकार पार्क की लंबाई 50 मी. है, पार्क की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
आयताकार पार्क की चौड़ाई =
= \(\frac{1000}{50}\) = 20 m.

प्रश्न 3.
एक कमरे के फर्श की लंबाई 5 मी. तथा चौड़ाई 4 मी. है। 3 मी. भुजा वाले एक वर्गाकार कालीन को फर्श पर faछाया गया है। फर्श के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिस पर कालीन नहीं बिछा है।
हल:
यहाँ 4 मीटर चौड़ाई और 5 मीटर लंबाई की विमाओं वाला एक फर्श है।

3 मीटर भुजा का एक वर्गाकार कालीन।
फर्श का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
फर्श का क्षेत्रफल = 5 × 4 = 20 मीटर²

वर्गाकार कालीन का क्षेत्रफल = 3 × 3 = 9 मीटर²
अब, हम उस फर्श का क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए फर्श के क्षेत्रफल से वर्गाकार कालीन के क्षेत्रफल को घटाएँगे जिस पर कालीन नहीं है।
इसलिए, उस फर्श का क्षेत्रफल जिस पर कालीन नहीं है 20 – 9 = 11 मीटर²
इस प्रकार, उस फर्श का क्षेत्रफल जिस पर कालीन नहीं है 11 मीटर है।

प्रश्न 4.
15 मी. लंबे और 12 मी. चौड़े एक पार्क के चारों कोनों को खोद कर फूलों की क्यारियाँ बनाई गई हैं, जिनकी लंबाई व चौड़ाई क्रमशः 2 मी. और 1 मी. है। एक लॉन बनाने के लिए अब कितना क्षेत्रफल उपलब्ध है?
हल:
यहाँ, पार्क की लंबाई = 15 मीटर
पार्क की चौड़ाई = 12 मीटर
इसलिए, पार्क का क्षेत्रफल = 15 × 12 वर्ग मीटर
= 180 वर्ग मीटर
अब, फूलों की क्यारी की लंबाई = 2 मीटर
फूलों की क्यारी की चौड़ाई = 1 मीटर
फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल = 2 × 1 वर्ग मीटर
= 2 वर्ग मीटर
चूँकि, चार फूलों की क्यारियों का क्षेत्रफल 2 × 4
वर्ग मीटर = 8 वर्ग मीटर
अब लॉन बनाने के लिए उपलब्ध क्षेत्रफल = (180 – 8 ) वर्ग मीटर = 172 वर्ग मीटर

प्रश्न 5.
आकृति A और आकृति B के परिमाप का क्षेत्रफल क्रमशः 18 वर्ग इकाई और 20 वर्ग इकाई है। आकृति A का परिमाप आकृति B से बड़ा है। दी गई स्थिति को पूरा करती हुई दो आकृतियाँ बनाएँ।
हल:
आकृति A का क्षेत्रफल 18 वर्ग इकाई है।
∴ संभावित भुजाएँ 18 × 1, 2 × 9, 6 × 3 हैं।
साथ ही, आकृति B का क्षेत्रफल 20 वर्ग इकाई है।
∴ संभावित भुजाएँ 20 × 1, 4 × 5, 10 × 2 हैं।
दिया गया है कि आकृति A का परिमाप आकृति B से बड़ा है, इसलिए दी गई शर्तों को पूरा करने वाली ऐसी दो आकृतियाँ हैं-

यहाँ आकृति A का परिमाप
= 9 + 2 + 9 + 2 = 22 इकाई

यहाँ आकृति B का परिमाप
= 5 + 4 + 5 + 4 = 18 इकाई

प्रश्न 6.
अपनी पुस्तक के एक पृष्ठ पर एक आयताकार हाशिया (border) बनाएँ जो ऊपर और नीचे से 1 सेमी की दूरी पर हो और बाईं व दाईं ओर से 1.5 सेमी दूरी पर हो । हाशिए का परिमाप क्या होगा?
हल:
आयताकार हाशिया (border) का परिमाप
= 2 × [लंबाई + चौड़ाई]
= 2 × [1 + 1.5] = 2 × 2.5 = 5 cm.

प्रश्न 7.
12 इकाई × 8 इकाई आकार का एक आयत बनाइए। इसके अंदर एक अन्य आयत बनाइए जो बाह्य आयत को स्पर्श न करता हो और केवल आधा क्षेत्रफल घेरता हो।
हल:
दिए गए आयत का क्षेत्रफल
= 12 × 8 = 96 इकाई²
और नए आयत का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × 96 = 48 वर्ग इकाई
∴ नए आयत की संभावित भुजाएँ
12 × 4, 16 × 3, 8 × 6, 1 × 48 है।
∴ अतः नए आयत की विमाएँ जो 12 × 8 इकाई²
के आयत में 8 × 6 इकाई आता है।

प्रश्न 8.
एक वर्गाकार कागज को आधा मोड़ा गया। फिर मोड़ से वर्ग को दो आयतों में काटा गया। वर्ग के आकार को न देखते हुए, निम्न में से एक कथन हमेशा सत्य होगा। यहाँ कौन-सा कथन सत्य है?
(a) प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल, वर्ग के क्षेत्रफल से बड़ा होगा।
(b) वर्ग का परिमाप, दोनों आयतों के परिमापों के योग से बड़ा होगा।
(c) दोनों आयतों के परिमाप को साथ जोड़ने पर वह हमेशा वर्ग के परिमाप के 1\(\frac{1}{2}\) गुने के बराबर होगा।
(d) वर्ग का क्षेत्रफल हमेशा दोनों आयतों के क्षेत्रफलों को साथ जोड़ने पर प्राप्त क्षेत्रफल से तीन गुना बड़ा होगा।
हल:

अब ऊपर वर्ग के टुकड़े में
वर्ग की भुजा = 1 इकाई
वर्ग का क्षेत्रफल = 1 × 1 = 1 वर्ग इकाई
और वर्ग का परिमाप = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 इकाई
अब ऊपर के वर्ग के टुकड़े को आधा मोड़ने पर 2 आयत बन जाते हैं

आयत R₁ का परिमाप
= 1 + \(\frac{1}{2}\) + 1 + \(\frac{1}{2}\) = 3 इकाई
आयत R₁ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × 1 = \(\frac{1}{2}\) वर्ग इकाई
आयत R₂ का परिमाप = 1 + \(\frac{1}{2}\) + 1 + \(\frac{1}{2}\) = 3 इकाई
आयत R₂ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × 1 = \(\frac{1}{2}\) वर्ग इकाई

(a) अब, आयत R₁ का क्षेत्रफल
= आयत R₂ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) < 1
अतः विकल्प (a) सही नही है।

(b) यहाँ वर्ग का परिमाप = 4 इकाई
तथा दोनों आयतों का परिमाप
= 3 + 3 = 6 इकाई है,
जो 4 इकाई से अधिक है।
अतः विकल्प (b) सत्य नहीं है।

(c) यहाँ दोनों आयतों का परिमाप = 6 इकाई
तथा वर्ग का परिमाप = 4 इकाई × 1\(\frac{1}{2}\)
= 4 × \(\frac{3}{2}\) = 6 इकाई।
स्पष्ट है कि दोनों आयतों का परिमाप आपस में जोड़ने पर वर्ग के परिमाप का 1\(\frac{1}{2}\) गुना है।
अतः विकल्प (c) सत्य है।

(d) यहाँ, वर्ग का क्षेत्रफल = 4 इकाई
तथा दोनों आयतों का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 1
इकाई। स्पष्ट है कि वर्ग का क्षेत्रफल दोनों आयतों के क्षेत्रफल का चार गुना है।
अत: विकल्प (d) सत्य नहीं है।