Experts have designed these Ganita Prakash Class 6 Notes and Class 6th Maths Chapter 7 Notes in Hindi भिन्न for effective learning.
Fractions Class 6 Notes in Hindi Medium
भिन्न कक्षा 6 नोट्स
कक्षा 6 गणित अध्याय 7 नोट्स भिन्न
→ भिन्न
भिन्न का अर्थ है समूह या क्षेत्र का कोई भाग । भिन्न को 
के रूप में लिखा जाता है।
हर पूर्ण को जितने पर भ में विभाजित किया गया है, उसकी संख्या को दर्शाता है।
अंश निकाले गए बराबर भागों की संख्या को दांता है।
उदाहरण के लिए : \(\frac{3}{4}\) एक फिल्म है। हम इसे “तीन चौथाई” के रूप में पढ़ते हैं
यहाँ, 3 अंशा और 4 हर कहलाता है।
यह दर्शाता है कि पूर्ण को 4 बराबर भागों में विभाजित किया गया है, जिसमें 3 भाग निकाल दिए गए है।
दैनिक जीवन से भिन्न का एक उदाहरण पिता को 4 बराबर भागों में विभाजित करने के रूप में लिया जा सकता है। पिल्ला का प्रत्येक भाग (टुकड़ा) पिता के \(\frac{1}{4}\) भाग के दर्शाता है।
भिन्न \(\frac{1}{4}\) ‘एक-चौथाई’ या ‘एक-शिमास’ पहा जाता है। संतान आकृति में छायांकित भाग भिन्न \(\frac{1}{4}\) के दर्शाता है।
इसी प्रकार, निम्नलिखित आवृत्ति में, अपांकित भाग भिन्न \(\frac{1}{6}\) को दर्शाता है।
और निम्नलिखित आकृति में छायांकित भाग भिन्न \(\frac{1}{8}\) को दर्शाता है।
उदाहरण 1. छायांकित भाग को दर्शाने वाली भिन्न लिखिए।
हल:
(i) यहाँ बराबर भागों की संख्या = 4
तथा छायांकित किए गए समान भागों की संख्या = 2
∴ छायांकित भाग को दर्शाने वाली भिन्न = \(\frac{2}{4}\) = \(\frac{1}{2}\)
(ii) यहाँ बराबर भागों की संख्य = -9
तथा छायांकित किए गए समान भागों की संख्या = 8
∴ छायांकित भाग को दर्शने वाली भिन्न = \(\frac{8}{9}\)
(iii) यहाँ बराबर भागों की संख्य = 4
तथा छायांकित किए गए समान भागों की संख्या = 1
∴ छायांकित भाग को दर्शने वाली भिन्न = \(\frac{1}{4}\)
(iv) यहाँ बराबर भागों की संख्य = 8
तथा छायांकित किए गए समान भागों की संख्या = 4
∴ छायांकित भाग को दर्शने वाली भिन्न = \(\frac{4}{8}\) = \(\frac{1}{2}\)
→ 7.1 भिन्नात्मक इकाइयाँ और समान भाग
भिन्नात्मक इकाई: “इकाई” शब्द का अर्थ एक है। गणित में, इकाई भिन्न को एक भिन्न के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका अंश 1 होता है। यह संपूर्ण के सभी बराबर भागों के 1 छायांकित भाग को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, यदि एक पिज़्ज़ा 4 बराबर भागों में विभाजित है और एक व्यक्ति इसका एक भाग खा रहा है, तो इसे संख्यात्मक रूप में \(\frac{1}{4}\) दर्शाया जा सकता है।
समान भाग
अगर किसी आकृति को समान आकार के भागों में विभाजित किया जाए, तो हमें समान भाग मिलते हैं। हम त्रिभुज, वर्ग, आयत और वृत्त जैसी आकृतियों को समान भागों में बाँट सकते हैं।
→ 7.4 संख्या रेखा पर भिन्नों की माप अंकित करना
प्रश्न 1.
यहाँ एक इकाई को 4 बराबर भागों में बाँटा गया है। काली रेखाओ की लंबाई बताने वाली भिन्न को संबंधित बॉक्स में अथवा अपनी नोटबुक (कॉपी) में लिखिए।
हल:
यहाँ संख्या रेखा OT = 1 इकाई को 5 बराबर भागों OP, PQ, QR RS और ST में बाँटा गया है।
काली रेखा OQ की लंबाई = OP + PQ = \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{2}{5}\)
काली रेखा OS की लंबाई OP + PQ QR + RS = \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{4}{5}\)
इसलिए OQ = \(\frac{2}{5}\), OS = \(\frac{4}{5}\)
प्रश्न 2.
अब एक इकाई को 8 बराबर भागों में बाँटा गया हो उचित भिन्नों को अपनी नोटबुक (कॉपी) में लिखिए। हल: यहाँ संख्या रेखा OH को 8 बराबर भागों OA, AB, BC, CD, DE, EF, FG और GH में बाँटा गया है।
साथ ही, OA = \(\frac{1}{8}\), OB = \(\frac{2}{8}\), OC = \(\frac{3}{8}\), …………., OH = \(\frac{8}{8}\) = 1
→ 7.5 मिश्रित भिन्न
एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न के संयोजन को मिश्रित भिन्न कहते हैं।
उदाहरण के लिए: 1\(\frac{1}{2}\), 2\(\frac{3}{4}\), 3\(\frac{4}{5}\) इत्यादि सभी मिश्रित भिन्ने हैं।
एक मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलना
पूर्ण संख्या को उचित भिन्न के हर से गुणा करके अंश में जोड़े। इससे अनुचित भिन्न का अंश प्राप्त होता है। अनुचित भिन्न का हर वही रहता है जो उचित भिन्न का था।
उदाहरण के लिए: 3\(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3 \times 4+1}{4}\) = \(\frac{12 + 1}{4}\) = \(\frac{13}{4}\)
नोट- अनुचित भिन्न = 
एक अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलना
एक अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलने के लिए हम अंश को हर से भाग देते हैं जिससे भागफल और शेषफल प्राप्त होता है। तब मिश्रित भिन्न को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है।
मिश्रित भिन्न = भागफल 
उदाहरण के लिए: \(\frac{9}{2}\) = 4\(\frac{1}{2}\) या 
उदाहरण 1.
\(\frac{5}{2}\) को मिश्रित भिन्न में लिखें।
हल:
उदाहरण 2.
\(\frac{7}{3}\) जोकि एक मिश्रित भिन्न है।
हल:
उदाहरण 3.
4\(\frac{3}{4}\) को अनुचित भिन्न में लिखें।
हल:
उदाहरण 4. 2\(\frac{1}{5}\) को अनुचित भिन्न में लिखें।
हल:
2\(\frac{1}{5}\) = 2 + \(\frac{1}{5}\)
= 1 + 1 + \(\frac{1}{5}\)
= \(\frac{5}{5}\) + \(\frac{5}{5}\) + \(\frac{1}{5}\)
= \(\frac{5 + 5 + 1}{5}\) = \(\frac{11}{5}\)
→ 7.6 तुल्य भिन्न
निम्न प्रत्येक आकृति में छायांकित भांग का अवलोकन कीजिए।
यहाँ हम देखते हैं कि छायांकित भाग में प्रत्येक पट्टी की लंबाई समान है।
अर्थात्, \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{2}{4}\) = \(\frac{4}{8}\)
इससे हम यह परिणाम निकालते है। कि \(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{4}\) और \(\frac{4}{8}\) तुल्य भिन्न हैं।
वे भिन्न जिनके मान समान होते हैं तुल्य भिन्न है।
तुल्य भिन्ने निकालने की दो विधियाँ है।
(i) दी गयी भिन्न के अंश व हर को किसी समान अशून्य संख्या से गुणा करने पर प्राप्त होता है।
उदाहरणः \(\frac{1}{2}\) की तुल्य भिन्न \(\frac{2}{4}\), \(\frac{3}{6}\), \(\frac{4}{8}\) हैं।
जैसे \(\frac{1 \times 2}{2 \times 2}\) = \(\frac{2}{4}\), \(\frac{1 \times 3}{2 \times 3}\) = \(\frac{3}{6}\),
\(\frac{1 \times 4}{2 \times 4}\) = \(\frac{4}{8}\) आदि।
(ii) दी गयी भिन्न के अंश व हर को 1 के अतिरिक्त अन्य किसी अशून्य संख्या से भाग करने पर
उदाहरण के लिए
(i) \(\frac{12}{10}\) का तुल्य भिन्न \(\frac{6}{5}\) है यहाँ = \(\frac{12 \div 2}{10 \div 2}\) = \(\frac{6}{5}\)
(ii) \(\frac{9}{21}\) का तुल्य भिन्न \(\frac{3}{7}\) है यहाँ = \(\frac{9 \div 3}{21 \div 3}\) = \(\frac{3}{7}\)
(iii) \(\frac{15}{40}\) का तुल्य भिन्न \(\frac{3}{8}\) है यहाँ = \(\frac{15 \div 5}{40 \div 5}\) = \(\frac{3}{8}\)
नोट: प्रत्येक उचित या अनुचित भिन्न के बराबर अनंत संख्याएँ होती हैं।
→ 7.7 भिन्नों की तुलना
1. दिए गए भिन्नों को तुल्य भिन्न में बदलें।
2. अब केवल अंशों की तुलना कर, तुल्य भिन्नों की तुलना कीजिए।
→ 7.8 भिन्नों को जोड़ना और घटाना
एक भिन्न को सरलतम रूप में कहा जाता है यदि उसके अंश व हर का1 के अलावा अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो। अर्थात् जब अंश और हर का HCF 1 है दूसरे शब्दों में जब अंश व हर अभाज्य संख्याएँ है।
(अभाज्य संख्या का अर्थ है जिनका 1 के अलावा अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो )
उदाहरण 1. 3 समतुल्य भिन्न लिखें।
(i) \(\frac{2}{5}\)
(ii) \(\frac{16}{24}\)
हल:
उदाहरण 2.
\(\frac{16}{24}\) को सरलतम रूप में व्यक्त करें।
हल:
यहाँ 16 के गुणनखंड 1, 2, 4, 8, 16 हैं और 24 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 हैं।
∴ 16 और 24 का HCF = 16 और 24 के सार्व गुणनखंड = 8
∴ \(\frac{16 \div 8}{24 \div 8}\) = \(\frac{2}{3}\)
अतः \(\frac{16}{24}\) का सरलतम रूप = \(\frac{2}{3}\)
समान भिन्नात्मक इकाई या हर वाले भिन्नों को घटाना
\(\frac{3}{5}\) – \(\frac{2}{5}\)
चूंकि अंशात्मक इकाई समान है अर्थात् \(\frac{1}{5}\) है
तथा \(\frac{3}{5}\) को चित्रात्मक रूप से प्रदर्शित करने पर
यदि हम आकृति के \(\frac{3}{5}\) भाग से \(\frac{2}{5}\) भाग घटाएँ तब।
शेष भिन्न \(\frac{1}{5}\) होगी।
संख्या रेखा पर
\(\frac{3}{5}\) – \(\frac{2}{5}\)
1 इकाई को संख्या रेखा पर 5 भागों में विभाजित करने पर
\(\frac{3}{5}\) – \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)