Students often refer to Ganita Prakash Class 6 Solutions and Class 6 Maths Chapter 9 Solutions in Hindi Medium सममिति to verify their solutions.
Ganita Prakash Class 6 Maths Chapter 9 Solutions in Hindi Medium
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ – 219)
प्रश्न 1.
क्या आप इस अध्याय के प्रारंभ में दी गई आकृतियों में सममिति की रेखा देख पाए हैं? बादलों की आकृति के विषय में आपका क्या विचार है?
हल:
फूल में 6 सममिति की रेखाएँ हैं।
तितली में 1 सममिति की रेखा है।
रंगोली में 4 सममिति की रेखाएँ हैं।
चक्कीदार पंखा (पिनव्हील) में कोई सममिति की रेखा नहीं है।
बादल में सममिति की रेखा हो भी सकती है और नहीं भी, क्योंकि उसका आकार स्थिर नहीं होता।
प्रश्न 2.
निम्न आकृतियों में यदि सममिति की रेखाएँ हैं, तो उन्हें पहचानिए।
हल:
एक से अधिक सममिति की रेखाओं की आकृतियाँ
वह आकृति जिसमें सममिति की एक रेखा या रेखाएँ होती हैं उसे परावर्तीय सममिति भी कहा जाता है। सममिति की आकृतियाँ कागज को मोड़कर और काटकर या पंचिंग मशीन द्वारा छेद बनाई जा सकती है।
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 223 – 230)
प्रश्न 1.
दी गई प्रत्येक आकृति में कागज की मुड़ी हुई चौकोर शीट में एक छेद किया गया है और फिर कागज को खोल दिया गया है। उस रेखा की पहचान कीजिए जिसके साथ कागज को मोड़ा गया था।
चित्र (d) एक छेद करके बनाया गया है। ज्ञात कीजिए कागज को कैसे मोड़ा गया था।
हल:
प्रश्न 2.
सममिति रेखाएँ दी गई हैं, अन्य छेदों को ज्ञात कीजिए-
हल:
प्रश्न 3.
नीचे कागज काटने से संबंधित कुछ प्रश्न दिए गए हैं।
एक ऊर्ध्वाधर मोड़ पर विचार कीजिए। उसे हम निम्न प्रकार से दर्शाते हैं।
इसी प्रकार, क्षैतिज मोड़ को निम्न प्रकार से दर्शाते हैं।
हल:
प्रश्न 4.
नीचे दी गई प्रत्येक स्थिति में काटने के पश्चात् जब कागज को खोला जाए तब छेद के आकार का अनुमान लगाकर उसे सत्यापित कीजिए।
हल:
प्रश्न 5.
मान लीजिए कि आपको इनमें से प्रत्येक आकार को कुछ मोड़ों और एक सीधे कट के साथ प्राप्त करना है। आप ऐसा किस प्रकार करेंगे?
(a) केंद्र में स्थित छेद एक वर्ग है।
(b) केंद्र में स्थित छेद एक वर्ग है।
नोट:
उपरोक्त दोनों प्रश्नों के लिए, इसकी जाँच कीजिए कि क्या केंद्र में चार–भुजीय आकृति एक वर्ग के दोनों गुणों की विशेषताओं को इंगित करती है।
हल:
प्रश्न 6.
इन आकृतियों में कितनी सममिति की रेखाएँ हैं?
(b) समान भुजाओं और समान कोणों वाला एक त्रिभुज।
(c) समान भुजाओं और समान कोणों वाला एक षट्भुज।
हल:
प्रश्न 7.
प्रत्येक आकृति का अक्स बनाइए तथा सममिति की रेखाएँ खींचिए, यदि कोई है तो-
हल:
प्रश्न 8.
नीचे दिए गए कोलम में सममिति की रेखाएँ ज्ञात कीजिए-
हल:
प्रश्न 9.
निम्नलिखित का चित्र बनाइए-
(a) एक त्रिभुज जिसमें सममिति की केवल एक रेखा हो।
(b) एक त्रिभुज जिसमें सममिति की केवल तीन रेखाएँ हों।
(c) एक त्रिभुज जिसमें सममिति की कोई रेखा ना हो।
क्या ठीक दो सममिति रेखाओं का त्रिभुज बनाना संभव है?
हल:
नहीं दो सममिति रेखाओं का त्रिभुज बनाना संभव नहीं है।
प्रश्न 10.
निम्नलिखित का चित्र बनाइए । प्रत्येक स्थिति में, आकृति में कम-से-कम एक घुमावदार सीमा अवश्य हो ।
(a) ठीक एक सममिति की रेखा वाला चित्र
(b) ठीक दो सममिति की रेखाओं वाला चित्र
(c) ठीक चार सममिति की रेखाओं वाला चित्र
हल:
प्रश्न 11.
निम्नलिखित आकृतियों को एक वर्गाकार कागज पर बनाइए। उन्हें इस प्रकार पूरा कीजिए कि काले रंग की रेखा सममिति की रेखा हो । समस्या (a) को आपके लिए पूरा किया गया है।
हल:
प्रश्न 12.
निम्नलिखित आकृतियों को एक वर्गाकार कागज पर बनाइए। उनमें से प्रत्येक को इस प्रकार पूरा कीजिए कि परिणामी आकृति में सममिति की रेखाओं के रूप में दो काली रेखाएँ हो।
हल:
प्रश्न 13.
निम्नलिखित रेखा आकृतियों को डॉट ग्रिड पर बनाइए । प्रत्येक आकृति के लिए दो और रेखाएँ खींचिए ताकि ऐसी एक आकृति बन सके, जिसमें सममिति की एक रेखा हो।
हल:
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 235 – 236)
प्रश्न 1.
दी गई आकृतियों में दिए गए चिह् 
के परित सममिति के कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
सममिति के कोण को ज्ञात करने के लिए, आइए आकृति को 90° घुमाएँ।
90° घूमने के बाद आकृति बिल्कुल वैसी ही रहती है। इसलिए 90° सममिति का कोण है।
90° घूमने पर उपरोक्त आकृति बनती है। मूल आकृति के साथ अतिव्यापी नहीं होती है। यह आकृति 360° के एक पूर्ण चक्कर के बाद ही अपने मूल आकार में वापस आती है। इसलिए 360° सममिति का कोण है।
180° घूमने के बाद आकृति बिल्कुल वैसी ही रहती है। इसलिए 180° सममिति का कोण है।
प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से किस आकृति में एक से अधिक सममिति के कोण हैं?
हलः
आकृति (g) को छोड़कर सभी आकृतियों में एक से अधिक सममिति के कोण हैं।
प्रश्न 3.
प्रत्येक आकृति के लिए घूर्णन सममिति का क्रम बताइए-
हल:
(a) 2
(b) 1
(c) 6
(d) 3
एक वृत्त की सममितियाँ
जब एक वृत्त को उसके केंद्र के परित (घड़ी की दिशा में या घड़ी की विपरीत दिशा) में घुमाते हैं तब वह स्वयं के साथ संपाती हो जाता है। अतः एक वृत्त में अनंत संख्याओं में घूर्णन सममिति होती हैं।
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 238 – 239)
प्रश्न 1.
नीचे दिए गए वृत्त के त्रिज्याखंडों में इस प्रकार रंग भरिए कि आकृति में
(a) 3 सममिति के कोण हों।
(b) 4 सममिति के कोण हों।
(c) सममिति के संभव कोणों की संख्या क्या होगी ? यदि इन त्रिज्याखंडों को अलग-अलग रंगों से अलग-अलग विधियों द्वारा भरा जाए तो,
हल:
(a) 120° के प्रत्येक घुमाव के बाद समान दिखाई देगा।
(b) 90° के प्रत्येक घुमाव के बाद समान दिखाई देगा।
(c) चार तरीके संभव हैं
प्रश्न 2.
वृत्त और वर्ग को छोड़कर, ऐसी अन्य दो आकृतियाँ बनाइए, जिनमें परावर्तीय सममिति और घूर्णन सममिति दोनों हों।
हल:
प्रश्न 3.
जहाँ भी संभव हो, निम्नलिखित का एक कच्चा स्कैच खींचिए-
(a) एक त्रिभुज, जिसमें न्यूनतम दो सममिति की रेखाएँ हों तथा न्यूनतम दो सममिति के कोण हों।
(b) एक त्रिभुज, जिसमें केवल एक सममिति की रेखा हो लेकिन कोई घूर्णन सममिति न हो।
(c) घूर्णन सममिति वाला ऐसा चतुर्भुज, जिसमें कोई परावर्तीय सममिति न हो।
(d) एक परावर्तीय सममिति वाला चतुर्भुज, जिसमें कोई घूर्णन सममिति न हो।
हल:
प्रश्न 4.
एक आकृति में सममिति का न्यूनतम कोण 60° है। इस आकृति के अन्य सममिति के कोण क्या हैं?
हल:
चूँकि 60° सबसे छोटा कोण है, इसलिए 360° तक 60° के गुणक वाले अन्य कोण सममिति के कोण हैं। यहाँ कोण – 120°, 180°, 240°, 300°, 360° हैं।
प्रश्न 5.
एक आकृति में एक सममिति का कोण 60° है। इस आकृति के दो सममिति के कोण 60° से कम हैं। सममिति का न्यूनतम कोण क्या होगा?
हल:
सममिति का न्यूनतम कोण = 60° ÷ 3 = 20°.
प्रश्न 6.
क्या हम घूर्णन सममिति के साथ एक ऐसी आकृति प्राप्त कर सकते हैं, जिसमें सममिति का न्यूनतम कोण
(a) 45° है?
(b) 17° है?
हल:
(a) हाँ, क्योंकि 360°, 45° से विभाज्य है।
(b) नहीं, क्योंकि 360°, 17° से विभाज्य नहीं है।
प्रश्न 7.
यह दिल्ली में स्थित नए संसद भवन का चित्र है-
(a) क्या इस चित्र की बाहरी परिसीमा ( boundary) में परावर्तन सममिति है? यदि ऐसा है, तो सममिति की रेखाएँ खींचिए । वे कितनी हैं ?
(b) क्या इसकी अपने केंद्र के परित घूर्णन सममिति है? यदि ऐसा है, तो घूर्णन सममिति के कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
(a) बाहरी परिसीमा अपने केंद्र के चारों ओर घूर्णन सममिति को दर्शाती है।
घूर्णन का न्यूनतम कोण = 360°÷ 3 = 120°.
अन्य घूर्णन कोण 240° और 360° हैं।
(b) बाहरी परिसीमा परावर्तन सममिति दर्शाती है।
प्रश्न 8.
अध्याय 1, सारणी 3 में पहले आकृति अनुक्रम नियमित बहुभुज आकार अनुक्रम आकृतियों में सममिति की कितनी रेखाएँ हैं? आपको कौन-सा संख्या अनुक्रम मिलता है।
हल:
3 भुजाओं वाले सम बहुभुज (समबाहु त्रिभुज) में 3 सममिति की रेखाएँ होती हैं।
4 भुजाओं वाले सम बहुभुज (वर्ग) में 4 सममिति की रेखाएँ होती हैं।
5 भुजाओं वाले सम बहुभुज (सम पंचभुज) में 5 सममिति की रेखाएँ होती हैं।
6 भुजाओं वाले सम बहुभुज (सम षट्भुज) में 6 सममिति की रेखाएँ होती हैं।
हम निम्नलिखित पैटर्न देखते हैं-
सम बहुभुज की भुजाओं की संख्या = सममिति की रेखाओं की संख्या
संख्या अनुक्रम 3, 4, 5, 6, 7,
प्रश्न 9.
अध्याय 1 की सारणी 3 में पहले आकृति अनुक्रम नियमित बहुभुज के आकार अनुक्रम की आकृतियों में सममिति के कितने कोण हैं? आपको कौन-सा संख्या अनुक्रम प्राप्त होता है?
हल:
सममिति के कोणों की संख्या सममिति की रेखाओं की संख्या
इसलिए हमें संख्याओं का अनुक्रम 3, 4, 5, 6, 7, …… मिलता है।
समबहुभुज में सभी भुजाएँ बराबर होती है।
प्रश्न 10.
अध्याय 1 की सारणी 3 में अंतिम आकृति अनुक्रम कोच स्नोफ्लेक के आकार अनुक्रम में आकृतियों में सममिति की कितनी रेखाएँ है? सममिति के कितने कोण हैं?
हल:
उपरोक्त आकृति में 6 सममिति की रेखाएँ हैं।
प्रश्न 11.
अशोक चक्र में कितनी सममिति की रेखाएँ और सममिति के कोण होते हैं?
हल:
अशोक चक्र में 24 तीलियाँ समान रूप से फैली हुई हैं।
24 तीलियाँ 12 जोड़े बनाती हैं।
विपरीत जोड़े से गुजरने वाली रेखा सममिति की रेखा होती हैं।
अतः इसमें सममिति की 12 रेखाएँ हैं।
सबसे छोटा सममिति का कोण = 360° ÷ 12 = 30°.
सममिति के अन्य कोण 360° तक इसके गुणक हैं।
अन्य कोण 60°, 120°, 150°, …….., 360° है। (कुल कोण = 12).