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Ganita Prakash Class 6 Maths Chapter 8 Solutions in Hindi Medium
रचना कीजिए (पृष्ठ 190 – 191)
प्रश्न 1.
एक व्यक्ति
“एक व्यक्ति” को दर्शाने के लिए दिए गए रूप में एक आकृति बनाएँ।
हल:
चरण 1. हम आकृति के आधार से शुरू करते हैं। हम आधार 4 सेमी लंबाई की एक रेखा AB लेते हैं। (आकृति 1)
चरण 2. A और B पर एक चाँदा का उपयोग करके लंबवत रेखाएँ खींचें। (आकृति 2)
चरण 3. रूलर का प्रयोग करते हुए, बिंदु C और D इस प्रकार लें कि AC = 2 cm और BD = 4 cm. एक रेखा से C और D को जोड़े। (आकृति 3)
चरण 4. रूलर का प्रयोग करते हुए CD पर बिंदु M इस प्रकार लें कि CM = 2 सेमी | M, CD का मध्य बिंदु है। चाँदा का प्रयोग करते हुए M पर लंब खींचे। इस लंब पर एक बिंदु P इस प्रकार लें कि PM = 2 सेमी दूरी PM = 2 सेमी से थोड़ी कम या अधिक भी हो सकती है। (आकृति 4)
चरण 5. PD को मिलाए । P को केंद्र लेते हुए D से C तक PD के बराबर त्रिज्या का एक चाप खींचे। P को केंद्र लेते हुए 1.5 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचे। चाप का स्पर्श करने के लिए PM को बढ़ाएँ । (आकृति 5)
चरण 6. आकृति 6 की तरह आकृति 5 में अतिरिक्त रेखाओं को मिटाएँ।
चरण 7. आकृति 6 दिए गए “एक व्यक्ति” का आवश्यक चित्रण दर्शाती है।
प्रश्न 2.
तरंगित तरंग (लहर)
दिए गए रूप में एक आकृति बनाएं जो ‘तरंगित तरंग’ को दर्शाती है, जहां तरंगे आधे वृत्त हैं।
हल:
चरण 1. हम 8 सेमी लंबाई की केंद्रीय रेखा AB लेते हैं। (माना) (आकृति 1)
चरण 2. चूंकि 8 ÷ 2 = 4, एक रूलर का उपयोग करके AB पर बिंदु C ले ।
जहाँ AC = 4 सेमी | C, AB का मध्य बिंदु है।
चूंकि 4 ÷ 2 = 2 एक रूलर का उपयोग करके AC पर बिंदु D और CB पर बिंदु E लें जहाँ AD = 2 सेमी और CE = 2 सेमी। D, AC का मध्य बिंदु है तथा E, CB का मध्य बिंदु है। (आकृति 2)
चरण 3. D को केंद्र मानकर रेखा AB के ऊपर 2 सेमी त्रिज्या का अर्धवृत्त बनाए । E को केंद्र मानकर रेखा AB के नीचे 2 सेमी त्रिज्या का अर्धवृत्त बनाएँ । (आकृति 3)
चरण 4. रेखा AB के ऊपर और नीचे अर्धवृत्त में ऊर्ध्वाधर रेखाएँ खींचे। (आकृति 4)
चरण 5. आकृति 4 दी गई तरंगित तरंग (लहर) का अपेक्षित चित्रण दर्शाता है।
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 191)
प्रश्न 1.
‘तरंग’ के निम्नलिखित चित्र पर विचार करें।
चूंकि केंद्रीय रेखा की लंबाई निर्दिष्ट नहीं है, हम इसे किसी भी लंबाई का मान सकते हैं। आइए हम AB को केंद्रीय रेखा के रूप में लेते हैं ताकि AB की लंबाई 8 सेमी हो।
यह अर्धवृत बनाने के लिए परकार में कितनी लंबाई की त्रिज्या रखनी होगी? AX की लंबाई क्या होनी चाहिए?
हल:
यहाँ AB = 8 सेमी है। चूंकि “तरंगित तरंग” में दो बराबर अर्धवृत्त है, हमारे पास AX = XB है।
∴ X, AB का मध्य बिंदु है।
∴ AX = \(\frac{8}{2}\) = 4 cm है।
AX = की लंबाई 4 cm है।
माना M, AX का मध्य बिंदु है।
∴ AM = MX
\(\frac{4}{2}\) = 2 सेमी
अर्धवृत्त का केंद्र M है।
∴ अर्धवृत्त की त्रिज्या = AM = 2 सेमी
∴ अर्धवृत्त की त्रिज्या 2 सेमी है।
प्रश्न 2.
दिए गए रूप का ‘तरंगित तरंग’ पर विचार करें।
भिन्न लंबाई की एक केंद्रीय रेखा लीजिए तथा इस पर लहर बनाने का प्रयास कीजिए।
हल:
चरण 1. हम भिन्न लंबाई की केंद्रीय रेखा लेते हैं, 10 सेमी (माना)।
चरण 2. क्योंकि \(\frac{10}{2}\) = 5 एक रूलर का उपयोग करके AB पर बिंदु C ले जहाँ AC = 5 सेमी। C, AB का मध्य बिंदु है। चूंकि 5 + 2 = 2.5 एक रूलर का उपयोग करके AC पर D और CB पर बिंदु E ले जहाँ AD = 2.5 सेमी और CE = 2.5 सेमी। D, AC का मध्य बिंदु है और E, CB का मध्य बिंदु है।
चरण 3. D को केंद्र मानते हुए केंद्रीय रेखा AB के ऊपर 2.5 सेमी त्रिज्या का एक अर्धवृत्त खीचें।
E को केंद्र मानते हुए केंद्रीय रेखा AB के नीचे 2.5 सेमी त्रिज्या का एक अर्धवृत्त खीचें।
चरण 4. रेखा AB के ऊपर और नीचे अर्धवृत्तों में ऊर्ध्वाधर रेखाएँ खीचें।
चरण 5. आकृति 4 10 सेमी लंबाई की केंद्रीय रेखा के साथ दी गई तरंगित तरंग के आवश्यक चित्रण को दर्शाती है।
प्रश्न 3.
उन आकृतियों को पुनः बनाएँ जहाँ लहरें अर्धवृत्त से छोटी हैं (जैसा कि पिछले पृष्ठ पर दी ‘एक व्यक्ति’ के गले की आकृति में दिखाई देता है।) यहाँ चुनौती यह है कि दोनों लहरें समान हों। यह कठिन हो सकता है।
हल:
हम आकृति 1 में दिए गए रूप की एक तरंगित तरंग लहर खींचेंगे।
यहाँ तरंगे अर्धवृत्त से छोटी है।
चरण 1. हम माना 10 सेमी लंबाई की केंद्रीय रेखा AB लेते हैं।
चरण 2. चूंकि 10 ÷ 2 = 5 एक, रूलर का उपयोग करके AB पर एक बिंदु C ले जहाँ AC = 5 सेमी। C, AB का मध्य बिंदु है चूंकि 5 ÷ 2 = 2.5 एक रूलर का उपयोग करके AC पर बिंदु D और CB पर बिंदु E ले।
चरण 3. D पर, एक चाँदा का उपयोग करके AB के नीचे एक लंब रेखा खीचें E पर एक चाँदा का उपयोग करके AB के ऊपर एक लंब रेखा खींचे।
चरण 4. एक रूलर का उपयोग करके बिंदु F और G को इस तरह चिह्नित करें कि DF = 1.5 सेमी और EG = 1.5 सेमी। DF और EG के बीच समान दूरी 1.5 सेमी से थोड़ी कम या अधिक भी हो सकती है।
चरण 5. AF और BG को मिलाएँ F को केंद्र के साथ, AF के बराबर त्रिज्या के A से C तक एक चाप खींचे। G को केंद्र के साथ GB के बराबर त्रिज्या के B से C तक एक चाप खींचे।
चरण 6. आकृति 5 में लंबवत रेखाएँ खींचे। तथा अतिरिक्त रेखाओं को मिटा दें।
चरण 7. आकृति 6 ‘ तरंगित तरंग (लहर) का अपेक्षित चित्रण दर्शाता है, जहाँ तरंगे अर्धवृत्त से छोटी है।
आँखें (पृष्ठ 192)
प्रश्न 1.
दिए गए रूप में आँखों को दिखाने के लिए एक चित्र बनाएँ।
हल:
चरण 1. आधार 8.5 सेमी (4 सेमी + 0.5 सेमी + 4 सेमी) लंबाई वाली एक रेखा AB लें। AB पर बिंदु C और D इस प्रकार ले AC = 4 सेमी और AD = 4.5 सेमी (4 सेमी + 0.5 सेमी)।
चरण 2. AB पर बिंदु E और F इस प्रकार लें जहाँ AE = 2 सेमी और FB = 2 सेमी | E, AC का मध्य बिंदु है और F, DB का मध्य बिंदु है।
चरण 3. एक चाँदा का उपयोग करके, E और F पर लंबवत खींचे।
चरण 4. रूलर का उपयोग करके बिंदु G,H, I व J इस प्रकार लें कि EG, EH, FI व FJ सभी 1.5 cm * के बराबर हो । समान दूरी 1.5 सेमी से थोड़ी कम या अधिक भी हो सकती है।
चरण 5. G को केंद्र में रखते हुए AG के बराबर त्रिज्या का A से C तक चाप खींचे। इसी तरह H, I और J को केंद्र में रखते हुए AG के बराबर त्रिज्या के चाप खींचे। आकृति 5 में दिखाए अनुसार अतिरिक्त रेखाओं को मिटा दें।
चरण 6. बिंदु E और F पर बड़े आकार के दो काले बिंदु बनाए।
चरण 7. आकृति 6 आँखों का अभीष्ट चित्रण दर्शाती है।
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 194)
प्रश्न 1.
डॉट पेपर पर एक आयत और चार वर्गों का प्रारूप खींचिए ( जैसा आकृति 8.3 में दिखाया गया है ) आकृति को पुनः इस प्रकार बनाने के लिए कि चारों वर्ग सममित रूप से आयत के चारों ओर रखे जाएँ, आप क्या करेंगे? अपने सहपाठियों के साथ चर्चा कीजिए।
हल:
चरण 1. एक वर्गाकार बिंदु वाला पेपर ले और उस पर A पर एक बिंदु लगाएँ । A से शुरू करके 10 बिंदुओं से दाईं ओर जाए और B पर दसवां बिंदु लगाएँ।
चरण 2. B से शुरू करें और B के ऊपर 6 बिंदुओं तक ले जाए और 6 वे बिंदु को C के रूप में चिह्नित करें। A से शुरू करें और A के ऊपर 6 बिंदुओं तक जाए और 6 वे बिंदु को D के रूप में चिह्नित करें। AB, BC, CD और DA को मिलाएँ।
चरण 3. बिंदु वाले पेपर पर बिंदु E, F, G और H ले जैसे कि आकृति में दिखाया गया है।
चरण 4. E, F, G और H से क्रमशः 4 बिंदुओं की दूरी पर बिंदु I J K और L लें। IE, FJ, GK और LH को मिलाए ।
चरण 5. LH और GK पर आयत के ऊपर वर्ग बनाएँ।
चरण 6. IE और FJ पर, आयत के नीचे वर्ग बनाएँ।
चरण 7. आकृति 1 एक वर्गाकार बिंदु वाले कागज़ पर एक आयत और चार वर्गों का आवश्यक विन्यास है।
प्रश्न 2.
पहचानिए कि क्या इस संग्रह में कोई वर्ग है। यदि आवश्यकता हो तो मापन का प्रयोग कीजिए।
सोचिए – उपरोक्त आकृति में बिना मापन उपकरणों को प्रयोग किए, क्या यह बताना संभव है कि भुजाएँ बराबर हैं या नहीं, कोण समकोण हैं या नहीं? क्या हम यह केवल डॉट पेपर में शीर्षों की स्थिति देखकर ज्ञात कर सकते हैं?
हल:
आकृति I इस आकृति में AB और BC बराबर नही है। इसलिए ABCD एक वर्ग नहीं हो सकता।
आकृति II. इस आकृति में ZBAD 90° के बराबर नहीं है। इसलिए ABCD एक वर्ग नही हो सकता ।
आकृति III. इस आकृति में भुजाओं के बीच बिंदुओं की गिनती करने पर, हम पाते है कि AB, BC, CD और DA सभी भुजाएँ बराबर है। साथ ही भुजाओं पर बिंदुओं की स्थिति से पता चलता है कि ABCD का प्रत्येक कोण 90° है।
∴ ABCD एक वर्ग है।
आकृति IV. इस आकृति में भुजाओं के बीच बिंदुओं की गिनती करने पर हम पाते है कि AB, BC, CD और DA सभी भुजाएँ बराबर है। चाँदे का उपयोग करने पर हम देखते हैं कि ABCD का प्रत्येक कोण 90° है।
∴ ABCD एक वर्ग है।
प्रश्न 3.
डॉट पेपर पर एक कम से कम 3 घुमाएँ गए वर्ग और 3 घुमाएँ गए आयत खींचिए। उन्हें इस प्रकार खींचिए कि उनके कोने डॉट पेपर के डॉट्स (बिंदु) पर हों। जाँच कीजिए कि आपने जो वर्ग और आयत बनाए हैं, वे उनके संगत गुणों को संतुष्ट करते हैं या नहीं।
हल:
हम एक डॉट ग्रिड पर दो घुमाए गए वर्ग और दो घुमाए गए आयत इस प्रकार बनाते हैं कि वर्गों और आयतों के कोने बिंदुओं पर हो।
हमने दो घुमाए गए वर्ग (II और III) और दो घुमाए गए आयत (I और IV) बनाए है। इन वर्गों और आयतों को भुजाओं के बीच बिंदुओं की संख्या और भुजाओं की स्थिति को ध्यान में रखते हुए बनाया गया है।
एक चाँदा का उपयोग करके, हम पाते है कि आकृति I से IV के सभी कोण 90° है।
एक रूलर का उपयोग करके, हम देखते हैं कि आकृति I और IV के विपरीत भुजाएँ समान है और आकृति II और III की सभी भुजाएँ समान है।
∴ परिभाषा के अनुसार, आकृति I और IV आयत हैं, और आकृति II और III वर्ग हैं।
रचना कीजिए (पृष्ठ 197)
प्रश्न 1.
6 सेमी और 4 सेमी लंबी भुजाओं वाले एक आयत की रचना कीजिए? रचना के बाद जाँच कीजिए कि क्या ये आयत के दोनों गुणों को संतुष्ट करता है?
हल:
हम आकृति 1 में दिखाए गए रूप का एक आयत बनाएंगे।
चरण 1. एक रूलर का उपयोग करके 6 सेमी की एक रेखा AB खींचे।
चरण 2. एक चाँदा का उपयोग करके A और B पर लंबवत रेखा AB खींचें।
चरण 3. एक रूलर का उपयोग करके, A पर लंबवत् रेखा पर बिंदु P को इस तरह चिह्नित करें कि AP=4 सेमी। एक रूलर का उपयोग करके, B पर लंबवत् रेखां पर बिंदु Q को इस तरह चिह्नित करें कि BQ = 4 सेमी।
चरण 4. एक रूलर का उपयोग करके P और Q को मिलाए। P और Q के ऊपर की रेखाओं को मिटा दें।
चरण 5. रूलर की सहायता से, सत्यापित करें कि PQ की लंबाई 6 सेमी है।
चाँदा की सहायता से सत्यापित करें कि ∠P और ∠Q दोनों 90° है।
चरण 6. यहाँ
(i) AB = PQ = 6 cm और AP = BQ = 4 cm
(ii) ∠A= ∠B = ∠Q = ∠P = 90°.
चरण 7. आकृति 5 में ABQP भुजाओं 4 cm और 6 cm वाला अभीष्ट आयत है।
प्रश्न 2.
2 सेमी और 10 सेमी भुजाओं वाले एक आयत की रचना कीजिए? रचना के बाद जाँच कीजिए कि क्या ये आयत के दोनों गुणों को संतुष्ट करता है?
हल:
हम आकृति 1 में दिखाए गए रूप का एक आयत बनाएंगे।
चरण 1. एक रूलर का उपयोग करके 10 सेमी की एक रेखा AB खींचे।
चरण 2. एक चाँदा का उपयोग करके A और B पर लंबवत रेखाएँ खींचें।
चरण 3. एक रूलर का उपयोग करके A पर लंबवत् पर बिंदु P को इस तरह चिह्नित करे कि AP = 2 सेमी । एक रूलर का उपयोग करके B पर लंबवत् पर बिंदु Q को इस तरह चिह्नित करें कि BQ = 2 सेमी ।
चरण 4. एक रूलर का उपयोग करके P और O को मिलाए । P और Q के ऊपर की रेखाओं को मिटा दें।
चरण 5. एक रूलर का उपयोग करके सत्यापित करें कि PQ की लंबाई 10 सेमी है।
चरण 6. यहाँ
(i) AB = PQ = 10 cm और AP = BQ = 2 cm
(ii) ∠A = ∠B = ∠P = ∠Q = 90°.
चरण 7. आकृति 5 में ABQP भुजाओं 2 cm और 10 सेमी वाला अभीष्ट आयत है।
प्रश्न 3.
क्या 4 भुजाओं वाली ऐसी आकृति की रचना करना संभव है जिसमें-
(i) सभी कोण 90° के बराबर हों, परंतु
(ii) सम्मुख भुजाएँ बराबर नहीं हों?
हल:
चरण 1. एक रूलर का उपयोग करके, मान लीजिए 6 सेमी के बराबर एक रेखा AB खींचे।
चरण 2. एक चाँदा का उपयोग करके A और B पर लंबवत रेखाएँ खींचें।
चरण 3. एक रूलर का उपयोग करके A पर लंबवत् बिंदु P को इस तरह चिह्नित करें कि AP = 4 सेमी, एक रूलर का उपयोग करके B पर लंबवत् पर बिंदु Q को इस तरह चिह्नित करें कि BQ = 2 सेमी, जो AP के बराबर नहीं है।
चरण 4. आकृति 3 में AP और BQ की विपरीत भुजाएँ बराबर नहीं है। एक रूलर का उपयोग करके P और Q को मिलाएँ। P और Q के ऊपर की रेखा को मिटा दें।
चरण 5. एक चाँदा का उपयोग करके, हम पाते है कि न तो ∠P और न ही ∠Q 90° है।
चरण 6. हम यह निष्कर्ष निकालते है कि 4 भुजाओं वाली ऐसी आकृति बनाना संभव नही है जिसमें सभी कोण 90° हो और सम्मुख भुजाएँ बराबर न हो।
रचना कीजिए (पृष्ठ 199)
प्रश्न 1.
एक ऐसे आयत की रचना कीजिए जिसे 3 समरूप वर्गों में विभाजित किया जा सके।
हल:
हम आकृति 1 में दिखाए गए रूप का एक आयत बनाएगें।
चरण 1. आइए आयत की ऊर्ध्वाधर भुजा को 3 सेमी रखें। चूँकि आयत को तीन समान वर्गों में विभाजित किया जाना है इसलिए आयत की लंबाई 3 सेमी + 3 सेमी + 3 सेमी = 9 सेमी होनी चाहिए।
चरण 2. एक रूलर का प्रयोग करके, 9 सेमी की एक रेखा AB खींचे।
चरण 3. एक रूलर का उपयोग करके, AB पर बिंदु P और Q इस प्रकार लें कि AP = 3 सेमी और PQ = 3 सेमी। यहाँ QB भी 3 सेमी है।
चरण 4. एक चाँदा का उपयोग करके A, P, Q और B पर लंबवत रेखाएँ खींचें।
चरण 5. एक रूलर का उपयोग करके A, P, Q और B पर क्रमशः लंबो पर बिंदु A’, P, Q’ और B’ को इस प्रकार चिह्नित करें कि AA’ = PP’ = QQ’ = BB’ = 3 सेमी।
चरण 6. एक रूलर का उपयोग करके A और P’, P और Q’, Q’ और B’ को मिलाए ।
चरण 7. ABBA अभीष्ट आयत है जिसे 3 समान वर्गों APP’A’, PQQ ‘P’ तथा QBB’ Q’ में विभाजित किया गया है।
(पृष्ठ 201)
प्रश्न 1.
उस आयत की भुजाओं की लंबाई बताइए जिसे निम्नलिखित में विभाजित नहीं किया जा सकता है-
(i) दो समरूप वर्ग
(ii) तीन समरूप वर्ग
हल:
(i) माना एक आयत की छोटी भुजा x सेमी है। यदि आयत की बड़ी भुजा 2x सेमी (x सेमी + x सेमी) है तो इस आयत को x सेमी भुजा वाले दो समरूप वर्गों में विभाजित किया जा सकता है।
आइए 4 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाले एक आयत पर विचार करें! यहाँ 6, 8 ( 4 + 4 ) के बराबर नहीं है इसलिए इसे दो समरूप वर्गों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। जैसे कि आकृति 2 में दिखाया गया है।
(ii) माना एक आयत की छोटी भुजा x सेमी है। यदि आयत की बड़ी भुजा 3x सेमी (x सेमी x सेमी + x सेमी ) है, तो इस आयत की x सेमी भुजा वाले तीन समरूप वर्गों में विभाजित किया जा सकता है।
आइए 3 सेमी और 8 सेमी भुजाओं वाले एक आयत पर विचार करे! यहाँ 8, 9 (3+3+3) के बराबर नहीं है, इसलिए इसे तीन समरूप वर्गों में विभाजित किया जा सकता है जैसा कि आकृति 4 में दिखाया गया है।
रचना कीजिए (पृष्ठ 201 – 203)
प्रश्न 1.
8 सेमी और 4 सेमी भुजाओं वाले एक आयत की रचना कीजिए। इस आयत के अंदर आप नीचे आकृति में दर्शाए अनुसार एक वर्ग की रचना किस प्रकार करेंगे, जिससे कि यह वर्ग आयत के ठीक बीचों-बीच रहे?
हल:
एक आयत (या वर्ग) का केंद्र इसके विकर्णों का प्रतिच्छेद बिंदु होता है।
चरण 1. एक रूलर का उपयोग करके, 8 सेमी की एक रेखा AB खींचे। एक चाँदा का उपयोग करके A और B पर लंबवत रेखाएँ खींचें। एक रूलर का उपयोग करके A पर लंबवत् रेखा पर बिंदु P को इस तरह चिह्नित करें कि AP = 4 सेमी। एक रूलर का उपयोग करके B पर लंबवत् रेखा पर बिंदु Q को इस तरह चिह्नित करें कि BQ= 4 सेमी। P और Q को रूलर से मिलाएँ। P और Q के ऊपर रेखाओं को मिटा दें।
चरण 2. रूलर का उपयोग करके, AQ और BP विकर्ण खीचें। मान लीजिए कि विकर्ण C पर प्रतिच्छेद करते है। यह बिंदु आयत ABQP और अभीष्ट वर्ग का केंद्र है।
चरण 3. विकर्ण AQ और BP को मिटा दे । चाँदा का उपयोग करके AB पर एक लंब रेखा खींचे और इसे केंद्र C से गुजारे। मान लीजिए कि यह लंब AB को R पर और PQ को S पर मिलता है।
चरण 4. चूंकि AP = 4 सेमी, वर्ग की प्रत्येक भुजा 4 सेमी होनी चाहिए। एक रूलर का उपयोग करके AB पर बिंदु A’ और B’ को इस प्रकार अंकित करें कि A ‘R = 2 सेमी और RB’ = 2 सेमी । इस प्रकार A’B’ = A’R + RB′ = 2 सेमी + 2 सेमी = 4 सेमी।
इसी प्रकार एक रूलर का उपयोग करके PQ पर बिंदु P’ और Q’ को इस प्रकार अंकित करें कि P’S = 2 सेमी और SQ = 2 सेमी । अत: P’Q’ = P’S + SQ’ = 2 cm + 2 cm = 4 cm
चरण 5. रूलर का उपयोग करके A’ और P’ को तथा B’ और Q’ को भी मिलाएँ । रेखा RS को मिटाएँ।
चरण 6. आकृति 5 में A’B’ Q’P’ केंद्र C वाला वांछित वर्ग है जो दिए गए आयत का केंद्र भी है।
प्रश्न 2.
नीचे दिखाए गए ‘गिरते हुए वर्ग’ आकृति की रचना कीजिए:
सुनिश्चित करें कि वर्ग उसी तरह संरेखित हों जिस तरह वे दिखाएँ गए हैं।
हल:
दी गई आकृति में तीन गिरते हुए वर्ग है और प्रत्येक वर्ग की भुजा 4 सेमी है।
चरण 1. एक रूलर का उपयोग करके 4 सेमी की एक रेखा AB खींचें। एक चाँदा का उपयोग करके A और B पर लंबवत् रेखाएँ खींचे।
एक रूलर का उपयोग करके A पर लंबवत् रेखा पर बिंदु C को इस तरह चिह्नित करें कि AC = 4 सेमी। एक रूलर का उपयोग करके B पर एक लंबवत् रेखा पर बिंदु D और E को इस तरह चिह्नित करें कि BD 4 सेमी और DE 4 सेमी।
चरण 2. C और D को मिलाएँ। CD को F से इस तरह बढ़ाए कि DF = 4 सेमी । एक चाँदा का उपयोग करके, F पर एक लंबवत् रेखा खींचें। रूलर का उपयोग करके F पर लंबवत् रेखा पर बिंदु G और H को इस प्रकार चिह्नित करें कि_FG = 4 cm और GH = 4 cm.
चरण 3. E और G को मिलाएँ। EG को I के साथ इस प्रकार बढ़ाएँ कि GE = 4 सेमी हो । चाँदा का उपयोग करके I पर एक लंबवत खींचें। रूलर का उपयोग करके I पर लंबवत् रेखा पर बिंदु J को इस प्रकार चिह्नित करें कि IJ = 4 सेमी हो। H और J को मिलाएँ। आकृति में अतिरिक्त रेखाएँ मिटाएँ । (आकृति 3)
चरण 4. आकृति 3 तीन गिरते हुए वर्गों की अभीष्ट आकृति है जिनमें से प्रत्येक की भुजा 4 सेमी है।
प्रश्न 3.
छायांकन दी गई आकृति को बनाइए। अपनी इच्छा से मापन चुनिए । ध्यान दीजिए कि बड़ी चतुर्भुजीय आकृति एक वर्ग है तथा इसी प्रकार छोटी आकृतियाँ भी वर्ग हैं।
हल:
चरण 1. एक रूलर का उपयोग करके 8 सेमी की एक रेखा AB खींचे। क्योंकि 8 + 4 = 2 हम 2 सेमी भुजा के छोटे वर्ग खींचेंगे एक चाँदा का उपयोग करके A और B पर लंबवत् रेखाएँ खींचे। एक रूलर का उपयोग करके A पर लंबवत् रेखा पर बिंदु P को इस तरह चिह्नित करें कि AP = 8 सेमी। एक रूलर का उपयोग करके, B पर लंबवत् रेखा पर बिंदु Q को इस तरह चिह्नित करें कि BQ = 8 सेमी। एक रूलर का उपयोग करके P और Q को मिलाएँ। P और Q के ऊपर की रेखाओं को मिटा दें।
चरण 2. रेखाओं AB, BQ, QP और PA पर एक रूलर का उपयोग करके 2 सेमी की दूरी पर बिंदु चिह्नित करें। 16 वर्ग प्राप्त करने के लिए क्षैतिज और लंबवत रेखाएँ खींचें।
चरण 3. कोने A से, चार वर्गों की भीतरी भुजाओं को मिटाकर 4 सेमी भुजा वाला एक वर्ग प्राप्त करें, जिसमें कोना A पर हो। 2 सेमी भुंजा वाले शेष 12 छोटे वर्गों के समांतर विकर्ण खींचें।
चरण 4. 12 छोटे वर्गों से, विकर्णों के ऊपर वाले भाग में क्षैतिज रेखाएँ खींचें।
चरण 5. आकृति 4 वह वांछित आकृति है, जिसमें एक वर्ग में 12 छोटे वर्ग है।
प्रश्न 4.
दिए गए चित्र में दिखाए गए अनुसार “वर्ग जिसके अंदर छेद है” की रचना कीजिए। वृत्ताकार छेद, वर्ग के ठीक बीचों-बीच है।
हल:
एक वर्ग का केंद्र उसके विकर्णों का प्रतिच्छेद बिंदु होता है। यह केंद्र आकृति में छेद का केंद्र भी है।
चरण 1. एक रूलर का प्रयोग करके, मान लीजिए 5 सेमी की एक रेखा AB खींचें। एक चांदा का उपयोग करके A और B पर लंबवत् रेखाएँ खींचें। एक रूलर का उपयोग करके A पर लंबवत् रेखा पर बिंदु P को इस तरह चिह्नित करें कि AP = 5 सेमी। एक रूलर का उपयोग करके B पर लंबवत् रेखा पर बिंदु Q को इस तरह चिह्नित करें कि BQ = 5 सेमी। एक रूलर का उपयोग करके P और Q को मिलाएँ । P और Q के ऊपर की रेखाएँ मिटा दें।
चरण 2. एक रूलर का उपयोग करके विकर्ण AQ और BP खींचें। माना विकर्ण C पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु वर्ग ABQP का केंद्र है। विकर्ण AQ और BP को मिटा दें।
चरण 3. C को केंद्र और 1.5 सेमी की त्रिज्या लेकर कंपास का उपयोग करके एक वृत्त बनाए।
चरण 4. आकृति 3 ‘वर्ग जिसके अंदर छेद है’ की अभीष्ट आकृति है।
प्रश्न 5.
दिए गए चित्र के अनुसार “चार छेदों वाला वर्ग” की रचना कीजिए।
हल:
आकृति में, एक वृत्त का केंद्र संबंधित वर्ग के समान है।
चरण 1. एक रूलर का उपयोग करके, मान लीजिए 8 सेमी की एक रेखा AB खींचें। एक चाँदा का उपयोग करके A और B पर लंबवत् रेखाएँ खींचें। एक रूलर का उपयोग करके A पर लंबवत् रेखा पर बिंदु P को इस तरह चिह्नित करें कि AP = 8 सेमी। एक रूलर का उपयोग करके, B पर लंबवत् रेखा पर बिंदु Q को इस तरह चिह्नित करें कि BQ = 8 सेमी। एक रूलर का उपयोग करके P और Q को मिलाए । P और Q के ऊपर की रेखाओं को मिटा दें।
चरण 2. एक रूलर का उपयोग करके बिंदु C, D, E और F इस प्रकार लें कि AC = 4 सेमी, BD = 4 सेमी, QE = 4 सेमी, और PF = 4 सेमी।
C और E को मिलाए और F और D को भी मिलाए । (आकृति-2)
चरण 3. माना G रेखाओं FD और CE का प्रतिच्छेदन है। वर्गों ACGF, CBDG, DQEG और GEPF के विकर्णों को जोड़कर उनके केंद्र ज्ञात करें।
चरण 4. छोटे वृत्तों के केंद्र ज्ञात करने के लिए उपयोग की गई अतिरिक्त रेखाओं को मिटा दें। छोटे वर्गों के केंद्रों पर केंद्र रखते हुए 1.3 सेमी त्रिज्या के चार वृत्त बनाए।
चरण 5. आकृति 4 अभीष्ट चार छेदों वाला वर्ग है।
प्रश्न 6.
एक “वक्रों वाला वर्ग” की रचना कीजिए, यह 8 सेमी की भुजा का एक वर्ग है जैसा कि निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है।
हल:
दी गई आकृति में, चापों के केंद्र वर्ग के बाहर है।
चरण 1. एक रूलर का उपयोग करके 8 सेमी की एक रेखा AB खींचें। एक चांदा का उपयोग करके A और B पर लंबवत् रेखाएँ खींचें। एक रूलर का उपयोग करके A पर लंबवत् रेखा पर बिंदु P को इस तरह चिह्नित करें कि AP = 8 सेमी। एक रूलर का उपयोग करके B पर लंबवत् रेखा पर बिंदु Q को इस तरह चिह्नित करें कि BQ = 8 सेमी । P और Q के ऊपर की रेखाओं को मिटा दें।
चरण 2. एक रूलर का उपयोग करके बिंदु C, D, E और F को इस प्रकार चिह्नित करें कि AC = 4 सेमी, BD = 4 सेमी, QE । = 4 सेमी और PF = 4 सेमी हो । C और E को मिलाएँ, D और F को भी मिलाएँ। इन रेखाओं को वर्ग के बाहर बढ़ाएँ।
चरण 3. DF को बढ़ाएँ और उस पर बिंदु G और H लें ताकि DG और FH 4 सेमी के बराबर हो। CE को बढ़ाएँ और उस पर बिंदु I और J ले ताकि CI और EJ4 सेमी के बराबर हो। 4 सेमी की दूरी 4 सेमी से थोड़ी कम या थोड़ी अधिक ली जा सकती है। B और G को मिलाए।
चरण 4. G, H, I और J को केंद्र मानकर और BG के बराबर त्रिज्या लेकर, वर्ग के अंदर चार चाप बनाएँ जैसे कि दी गई आकृति में दिखाया गया है। अतिरिक्त रेखाओं को मिटाएँ।
चरण 5. आकृति 4, “वक्रों वाला वर्ग” की अभीष्ट आकृति है।
रचना कीजिए (पृष्ठ 211)
प्रश्न 1.
एक आयत की रचना कीजिए जिसमें एक विकर्ण सम्मुख कोणों को 50° और 40° में विभाजित करता हो।
हल:
हम आकृति 1 में दिखाए गए रूप का एक आयत बनाएँगें।
चरण 1. एक रूलर का उपयोग करके, 4 सेमी की एक रेखा AB खींचें।
चरण 2. एक चाँदे का उपयोग करके 50° और 90° (50° + 90°) के कोण पर बिंदु C और D को चिह्नित करें चाँदे के केंद्रीय बिंदु को A पर रखें।
चरण 3. एक चाँदे का उपयोग करके AB के B पर एक लंब रेखा खींचें और इसे E तक विस्तारित रेखा AC को प्रतिच्छेद करने दें। (आकृति 3)
चरण 4. चाँदे का प्रयोग करके BE के E पर एक लंब रेखा खींचें और इसे विस्तारित रेखा AD को F पर प्रतिच्छेदित करें।
चरण 5. आकृति 4 में अतिरिक्त रेखाओं को मिटा दें।
चरण 6. आकृति 5 वह अभीष्ट आयत है जिसमें एक विकर्ण सम्मुख कोणों को 50° और 40° में विभाजित करता है।
प्रश्न 2.
एक आयत की रचना कीजिए जिसमें एक विकर्ण सम्मुख कोणों को 45° और 450 में विभाजित करता हो। आप इसकी भजाओ के बारे में क्या देखते हो?
हल:
स्वयं करें।
प्रश्न 3.
एक आयत की रचना कीजिए जिसकी एक भुजा 4 सेमी है और विकर्ण की लंबाई 8 सेमी है।
हल:
हम आकृति 1 में दिखाए गए रूप का एक आयत बनाएंगे।
चरण 1. एक रूलर का उपयोग करके 4 सेमी की एक रेखा AB खीचें।
चरण 2. एक चाँदे का उपयोग करके AB पर A और B लंब रेखा खींचें।
चरण 3. A को केंद्र और 8 सेमी की त्रिज्या लेकर लंब को B पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक चाप खींचें । इसी प्रकार B को केंद्र मानकर 8 सेमी त्रिज्या का एक चाप खींचें जो लंब को A पर प्रतिच्छेद करें।
चरण 4. चापों के प्रतिच्छेद बिंदुओं को PQ से मिलाए।
चरण 5 आकृति 5 में अतिरिक्त रेखाओं को मिटा दें।
चरण 6. आकृति 6 अभीष्ट आयत है। जिसकी एक भुजा 4 सेमी है और विकर्णों की लंबाई 8 सेमी है।
प्रश्न 4.
एक आयत की रचना कीजिए जिसकी एक भुजा 3 सेमी है और विकर्ण की लंबाई 7 सेमी है।
हल:
स्वयं करें।
रचना कीजिए (पृष्ठ 215)
प्रश्न 1.
इससे बड़े एक घर का निर्माण कीजिए जिसकी सभी भुजाएँ 7 सेमी लंबी हों।
हल:
चरण 1. एक रूलर का उपयोग करके 7 सेमी की एक रेखा DE खींचें।
चरण 2. एक चाँदे का उपयोग करके D और E पर DE के लंबवत रेखाएँ खींचें । D पर लंबवत बिंदु B लें जहाँ BD = 7 सेमी है। E पर लंबवत् बिंदु C लें जहाँ CE = 7 सेमी है।
चरण 3. 7 सेमी – 1 सेमी = 6 सेमी और 6 सेमी ÷ 2 = 3 सेमी। एक रूलर का उपयोग करके DE पर बिंदु P और Q ले जैसे कि DP = 3 सेमी और QE = 3 सेमी । चाँदा का उपयोग करके D व E पर लंब P व Q जिसकी प्रत्येक की लंबाई 2 सेमी हो, बनाएँ।
चरण 4. R और S को मिलाएँ। B और C को केंद्र मानकर तथा 7 सेमी त्रिज्या लेकर, बिंदु A पर प्रतिच्छेद करने के लिए लिए चाप लगाएँ । AB और AC को मिलाएँ।
A को केंद्र मानकर तथा 7 सेमी त्रिज्या लेकर B से C तक चाप लगाएँ। साथ ही अतिरिक्त रेखाओं को मिटा दें।
चरण 5. आकृति 4, दिए गए घर का अभीष्ट पुननिर्माण है, जिसमें सभी भुजाएँ 7 सेमी लंबाई वाले घर की सीमा बनाती है।
प्रश्न 2.
घर की रचना में सम्मिलित संकल्पनाओं का प्रयोग करते हुए, सेक्शन कलाकृति से ‘एक व्यक्ति’, ‘तरंगित लहर’ और ‘आँखें’ का पुनः सृजन करने का प्रयास करें।
हल:
स्वयं करें।
प्रश्न 3.
क्या चार समान भुजाओं वाली एक आकृति बनाई जा सकती है जो वर्ग न हो? यदि ऐसी आकृति का अस्तित्व है, तो क्या आप इसकी रचना कर सकते हैं?
हल:
चरण 1. एक रेखा खींचे और उस पर बिंदु A और B लें जहाँ AB = 5 सेमी (माना)।
चरण 2. एक चाँदे का उपयोग करके बिंदु C और D लें जहाँ A के दाईं और B के दाईं ओर कोण 60° है।
चरण 3. एक रूलर का उपयोग करके AC पर बिंदु P लें जहाँ AC = 5 सेमी और BD पर बिंदु Q लें जहाँ BD = 5 सेमी। P और Q को मिलाएँ।
चरण 4. एक रूलर का उपयोग करके हम दूरी PQ मापते है PQ, 5 सेमी के बराबर है।
∴ ABQP एक वर्ग नहीं है।
चरण 5. हम देखते हैं कि 4 भुजाओं वाली ऐसी आकृतियाँ है जिनमें सभी भुजाएँ लंबाई में बराबर है लेकिन वर्ग नहीं है।