Students often refer to Ganita Prakash Class 6 Solutions and Class 6 Maths Chapter 5 Solutions in Hindi Medium अभाज्य समय to verify their solutions.
Ganita Prakash Class 6 Maths Chapter 5 Solutions in Hindi Medium
(पृष्ठ 107)
प्रश्न 1.
ऐसी और संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 3 और 5 की गुणज हैं। ये संख्याएँ ………………………… कहलाती हैं।
हल:
वह संख्याएँ जो 3 और 5 दोनों की गुणज हो वह सार्व गुणज कहलाती है। 3 और 5 का सबसे छोटा सार्व गुणज 15 है। ऐसी और संख्या 30, 45 और 60 इत्यादि हैं।
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 108)
प्रश्न 1.
किस संख्या पर दसवीं बार ‘इडली – वड़ा’ कहा जाएगा?
हलः
“इडली-वड़ा” की 10वीं उपस्थिति ज्ञात करने के लिए, हमें उन संख्याओं की पहचान करने की आवश्यकता है जो 3 और 5 दोनों के गुणज हैं।
जिन संख्याओं के लिए ” इडली वड़ा” कहा जाएगा वे 15 के गुण हैं।
यह क्रम इस प्रकार है – 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150…..
इस प्रकार, दसवीं बार ‘इडली वड़ा’ कहा जाएगा वह संख्या 150 है।
प्रश्न 2.
यदि खेल 1 से 90 तक की संख्याओं के लिए खेला जा रहा हो तो ज्ञात कीजिए-
(a) बच्चा कितनी बार ‘इडली’ कहेगा (इसमें ‘इडली – वड़ा’ कही जाने वाली बारी भी सम्मिलित होगी)?
(b) बच्चा कितनी बार ‘बड़ा’ कहेगा (इसमें ‘इडली- वड़ा’ कही जाने वाली बारी भी सम्मिलित होगी) ?
(c) बच्चा कितनी बार ‘इडली – वड़ा’ कहेगा?
हल:
(a) इडली 3 के गुणजों के लिए कहा जाता है। 1 से 90 के बीच 3 के गुणज 3, 6, 9, 12, 15, 18, 90 है। ऐसी 30 संख्याएँ है। अतः बच्चा 30 बार इडली कहेगा।
(b) वड़ा 5 के गुणजों के लिए कहा जाता है। 1 से 90 के बीच 5 के गुणज 5, 10, 15, 20, 25 है। ऐसी संख्याएँ 18 हैं।
(c) इडली-वड़ा 3 और 5 दोनों के गुणजों के लिए कहा जाता है जो 15 का गुणज है। 1 और 90 के
बीच 15 के गुण 15, 30, 45, 60, 75, 90 है। ऐसी 6 संख्याएँ है।
प्रश्न 3.
क्या होगा यदि खेल 900 तक खेला जाएगा? इसके आधार पर आपके उत्तर में क्या परिवर्तन होंगे?
हल:
1 और 900 के बीच 3 के 300 गुणज है और 1 से 900 के बीच 5 के 180 गुणज है। 1 और 900 के बीच 15 के 60 गुणज है।
(a) “इडली” कहा जाता है 300 बार (जितनी बार “इडली वड़ा” कहा जाता है, उसमें भी शामिल है)।
(b) “वड़ा” कहा जाता है 180 बार (जितनी बार “इडली वड़ा” कहा जाता है, उसमें भी शामिल है)।
(c) “इडली वड़ा” कहा जाता है 60 बार।
प्रश्न 4.
क्या यह आकृति ‘इडली-वड़ा’ खेल से किसी रूप में संबंधित हैं?
संकेत – कल्पना कीजिए कि आप यह खेल 30 तक खेलते हैं। अगर आप 60 तक खेल खेलते हैं, तो ऐसी ही आकृति बनाइए।
हल:
हाँ, यह आकृति “इडली – वड़ा” खेल से संबंधित है। नीचे दी गई आकृति 60 तक खेले गए खेल को दर्शाती है।
(पृष्ठ 108)
आइए, अब ‘इडली – वड़ा’ खेल कुछ अलग संख्या युग्मों के साथ खेलें-
(a) 2 और 5
(b) 3 और 7
(c) 4 और 6
हल:
(पृष्ठ 109)
प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्या में से कौन-सी अन्य संख्या हो सकती है: 2, 3, 5, 8, 10?
हल:
2
जैकपॉट के लिए छलाँग (उभयनिष्ठ गुणनखंड)
वे गुणनखंड जो दो या दो से अधिक संख्याओं में उभयनिष्ठ होते हैं, उन्हें सार्व गुणनखंड कहते हैं।
जम्पी और ग्रम्पी एक खेल खेलते हैं।
- ग्रम्पी ने किसी संख्या पर एक खजाना रखा। उदाहरण के लिए उसने इसे 24 पर रखा।
- जम्पी ने एक छलाँग के आकार का चयन किया। यदि उसने 4 का चयन किया, तो 0 से शुरू करते हुए उसे 4 के गुणज पर छलाँग लगानी होगी।
- जम्पी को खजाना मिल जाएगा, यदि वह उस संख्या पर पहुँच जाए जहाँ ग्रम्पी ने खजाना रखा है।
(पृष्ठ 110)
प्रश्न 1.
कौन-सा छलाँग का आकार 15 और 30 दोनों तक पहुँच सकता है? यहाँ बहुत सारे छलाँग के आकार संभव हैं। उन सभी को ढूँढ़ने का प्रयास कीजिए।
हलः
जम्पी को 15 और 30 दोनों पर पहुँचने के लिए छलाँग का आकार खोजने हैं। जिसके लिए, आपको इन दोनों संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणनखंडों का निर्धारण करना होगा। यहाँ बताया गया है कि आप इन उभयनिष्ठ छलाँग के आकारों को कैसे खोज सकते हैं-
15 के गुणनखंडः
- 15 को इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है।
15 = 3 × 5 - 15 के गुणनखंड 1, 3, 5, 15 है।
30 के गुणनखंड
- 30 को इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है।
30 = 2 × 3 × 5 - 30 के गुणनखंड 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 है।
इन दो सूचियों के बीच उभयनिष्ठ गुणनखंड 1, 3, 5, 15 है। इसलिए छलाँग के आकार जो छलाँग को 15 और 30 दोनों पर उतरने की अनुमति देंगे, 15 और 30 के उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं।
प्रश्न 2.
1. क्या छायांकित बॉक्स संख्याओं के मध्य कुछ समानता है?
2. क्या वृत्त में अंकित संख्याओं के बीच कुछ समानता है?
3. ऐसी कौन-सी संख्याएँ हैं, जो छायांकित बॉक्स और वृत्त, दोनों में हैं। इन संख्याओं को क्या कहते हैं?
हल:
1. तालिका में छायांकित संख्याएँ 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69 है।
ये सभी 3 के गुणज है। इसलिए छायांकित बॉक्सों में. संख्याएँ 3 के गुणज है।
2. तालिका में वृताकार संख्याएँ है। 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68। ये सभी 4 के गुणज है। इसलिए वृताकार संख्याएँ 4 के गुणज है।
3. 36, 48, 60 संख्याएँ छायांकित और वृताकार दोनों में है । इन संख्याओं को 12 का सार्व गुणज (3 और 4 दोनों) कहा जाता है।
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 110 – 111)
प्रश्न 1.
310 और 410 के बीच आने वाले 40 के सभी गुणज ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ 40 के गुणज 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 440 1
अतः 310 और 410 के बीच स्थित 40 के गुणज 320, 360 और 400 है।
प्रश्न 2.
मैं कौन हूँ?
(a) मैं 40 से कम एक संख्या हूँ, मेरा एक गुणनखंड 7 है। मेरे अंकों का जोड़ 8 है।
(b) मैं 100 से छोटी एक संख्या हूँ। मेरे दो गुणनखंड 3 और 5 हैं। मेरा एक अंक, दूसरे से 1 अधिक है।
हल:
(a) 7 के उभयनिष्ठ गुणनखंड 7, 14, 21, 28, 35 है जोकि 40 से कम है यहाँ एक ऐसी संख्या है जिनके अंकों का योग 8 है। 35 = 3 + 5 = 8
(b) 3 और 5 के उभयनिष्ठ गुणनखंड 15, 30, 45, 60, 75, 90 है (जो 100 से कम है) और एक संख्या ऐसी है जिसका एक अंक दूसरे से 1 अधिक है जो 45 है। इसलिए मेरी आयु 45 है।
प्रश्न 3.
एक संख्या जिसके सभी गुणनखंडों का योग उस संख्या से दुगना हों, संपूर्ण संख्या (Perfect Number) कहलाती है। संख्या 28 एक संपूर्ण संख्या है। इसके गुणनखंड 1, 2, 4, 7, 14 और 28 है, इनका योग 56 है जो कि 28 की दुगना है। 1 से 10 तक के बीच एक संपूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
1 और 10 के बीच एकमात्र संपूर्ण संख्या 6 है।
- उभयनिष्ठ गुणनखण्डों है 1, 2, 3, 6
- उभयनिष्ठ गुणनखण्डों का योग = 1 + 2 + 3 + 6 = 12
- 12, 6 का दो गुना है इसलिए 6 एक संपूर्ण संख्या है।
प्रश्न 4.
उभयनिष्ठ (सार्व) गुणनखंड ज्ञात कीजिए-
(a) 20 और 28
(b) 35 और 50
(c) 4, 8 और 12
(d) 5, 15 और 25
हल:
(a) 20 के गुणनखंड 1, 2, 4, 5, 10, 20 है। 28 के गुणनखंड 1, 2, 4, 7, 14, 28 है। सार्व गुणनखंड 1, 2, 4 है।
(b) 35 के गुणनखंड 1, 5, 7, 35 है। 50 के गुणनखंड 1, 2, 5, 10, 25, 50 है। सार्व गुणनखंड 1, 5 है।
(c) 4 के गुणनखंड 1, 2, 4 है। 8 के गुणनखंड 1, 2, 4, 8 है। 12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 12 है। सार्व गुणनखंड 1, 2, 4 है।
(d) 5 के गुणनखंड 1, 5 है। 15 के गुणनखंड 1, 3, 5, 15 है। 25 के गुणनखंड 1, 5, 25 है। सार्व गुणनखंड 1, 5 है।
प्रश्न 5.
तीन ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जो 25 की गुणज हैं लेकिन 50 की नहीं।
हलः
25 की गुणज संख्याएँ 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, …… है
50 की गुणज संख्याएँ 50 100 150, 200, 250, 300, …… है
अतः वे संख्याएँ जो 25 की गुणज है लेकिन 50 की गुणज नहीं है नहीं है वे 25, 75, 125 175… है
प्रश्न 6.
अंशु और उसके मित्र दो संख्याएँ लेकर ‘इडली- वड़ा’ खेल, खेल रहे हैं। दोनों संख्याएँ 10 से छोटी हैं। पहली बार यदि कोई ‘इडली वड़ा’ कहता है, तो वह संख्या 50 के पश्चात् आती है। वे दोनों संख्याएँ क्या होंगी, जिन्हें ‘इडली’ और ‘वड़ा’ कहा गया है।
हल:
यदि 50 के बाद ‘इडली वड़ा’ कहा जाता है तो इसका मतलब है कि दोनों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 50 से थोड़ा ज्यादा होना चाहिए। 6 और 9 का LCM 54 है, जो 50 के बाद पहला सार्व गुणक है जिससे 6 और 9 संभावित संख्या बन जाती है। इसलिए दोनों संख्याएँ 6 और 9 हो सकती है।
प्रश्न 7.
खजाने की खोज खेल में ग्रम्पी ने खजाने को 28 और 70 पर रखा है। दोनों संख्याओं पर पहुँचने के लिए छलाँग का आकार क्या होना चाहिए।
हल:
28 के गुणनखंड = 1, 2, 4, 7, 14, 28
70 के गुणनखंड = 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
गुणनखंड 1 2 7 और 14 है।
अतः 28 और 70 दोनों पर आने वाली छलांग के आकार 1, 2, 7 और 14 है।
प्रश्न 8.
नीचे दिए गए चित्र से गुणा ने उभयनिष्ठ गुणज को छोड़कर सभी संख्याओं को मिटा दिया है। पता लगाइए कि वे संख्याएँ कौन-सी हो सकती हैं? और उन लुप्त संख्याओं को खाली स्थान में लिखिए।
हल:
यहाँ 6 को 3 से भी प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
चूंकि 24 48, 72 भी 3 और 8 के सार्व गुणज है।
प्रश्न 9.
एक सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 7 को छोड़कर 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज हो।
हल:
7 को छोड़कर 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज होने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए हम 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 और 10 का लघुत्तम समापवर्त्य निकालते है।
यहाँ
1 = 1
2 = 2
3 = 3
4 = 2 × 2
5 = 5
6 = 2 × 3
8 = 2 × 2 × 2
9 = 3 × 3
10 = 2 × 5
∴ LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 360
∴ इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 360 है।
प्रश्न 10.
एक सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज हो।
हल:
1 से 10 तक की सभी संख्याओं का सबसे छोटा गुणज ज्ञात करने के लिए हम 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
और 10 का सबसे छोटा गुणज निकालते है।
यहाँ
1 = 1
2 = 2
3 = 3
4 = 2 × 2
5 = 5
6 = 2 × 3
7 = 7
8 = 2 × 2 × 2
9 = 3 × 3
10 = 2 × 5
∴ LCM= 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7
= 8 × 9 × 5 × 7
= 2520
∴ इन संख्याओं का सबसे छोटा गुणज 2520 है
(पृष्ठ 113)
प्रश्न 1.
21 से 30 के बीच कितने अभाज्य संख्याएँ हैं?
हल:
21 और 30 के बीच की अभाज्य संख्याएँ 23 और 29 हैं। इसलिए 2 अभाज्य संख्याएँ है।
(पृष्ठ 114)
प्रश्न 1.
21 से 30 के बीच कितने भाज्य संख्याएँ हैं?
हल:
21 और 30 के बीच भाज्य संख्याएँ 22, 24, 25, 26, 27, 28 और 30 है। इसलिए भाज्य संख्याएँ 7 है।
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 114 – 115)
प्रश्न 1.
हम देखते हैं कि 2 एक अभाज्य संख्या है और यह सम संख्या भी है। क्या कोई अन्य सम अभाज्य संख्या है? (NCERT पृष्ठ 113 देखें)
हल:
नहीं, 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है चूंकि 2 एकमात्र सम संख्या है जो अभाज्य संख्या के मानदंड को पूरा करती है (इसके केवल भाजक 1 और 2 है) यह एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। अन्य सभी सम संख्याएँ 2 और कम से कम एक अन्य संख्या से विभाज्य है इसलिए वे अभाज्य नहीं है।
प्रश्न 2.
100 तक की अभाज्य संख्याओं की सूची देखिए । दो क्रमागत अभाज्य संख्याओं में न्यूनतम एवं अधिकतम अंतर क्या है?
हल:
100 तक की दो क्रमागत अभाज्य संख्याओं के बीच सबसे छोटा अंतर ज्ञात करने के लिए आइए उस श्रेणी
में अभाज्य संख्याओं को सूचीबद्ध करे और प्रत्येक युग्म के बीच अंतर की गणना करें। 100 तक की अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
क्रमागत अभाज्य संख्याओं के बीच अंतर
3 – 2 = 1
5 – 3 = 2
7 – 5 = 2
11 – 7 = 4
13 – 11 – 2
17 – 13 = 4
19 – 17 = 2
23 – 19 = 4
29 – 23 = 6
31 – 29 = 2
37 – 31 = 6
41 – 37 = 4
43 – 41 = 2
47 – 43 = 4
53 – 47 = 6
59 – 53= 6
61 – 59 = 2
67 – 61 = 6
71 – 67 = 4
73 – 71 = 2
79 – 73 = 6
83 – 79 = 4
89 – 83 = 6
97 – 89 = 8
100 तक के दो क्रमागत अभाज्य संख्याओं के बीच सबसे
छोटा अंतर 1 है (अभाज्य संख्या 2 और 3 के बीच)।
100 तक के दो क्रमागत अभाज्य संख्याओं के बीच सबसे बड़ा अंतर 8 है जो अभाज्य संख्या 89 और 97 के बीच होता है।
प्रश्न 3.
क्या प्रत्येक पंक्ति में एक समान संख्या में अभाज्य संख्याएँ थीं? किन दहाइयों में न्यूनतम अभाज्य संख्याएँ हैं? यह भी बताइए कि पिछले पृष्ठ पर दी गई सारणी में किनमें अधिकतम अभाज्य संख्याएँ हैं?
हल:
प्रतयेक पंक्ति में अभाज्य संख्याओं की संख्या बराबर नहीं होती । पंक्तियों के बीच अभाज्य संख्याओं की संख्या अलग-अलग होती है 90 – 99 के दशक में अभाज्य संख्याओं की संख्या कम है जिसमें केवल 1 अभाज्य संख्या (97) है।
0 – 9 और 10 – 19 के दशकों में अभाज्य संख्याओं की संख्या सबसे अधिक है जिनमें से प्रत्येक में 4 अभाज्य संख्याएँ हैं।
प्रश्न 4.
इनमें से कौन-सी संख्याएँ अभाज्य हैं-23, 51, 37, 26?
हल:
सूची (23, 51, 97, 26 ) में अभाज्य संख्याएँ 23 और 37 हैं।
23 अभाज्य संख्या (इसका 1 और 23 के अलावा कोई भाजक नहीं है)
51 अभाज्य संख्या नहीं (यह 1, 3 और 17 से विभाज्य है) 37 अभाज्य संख्या (इसका 1 और 37 के अलावा कोई भाजक नहीं)
26 अभाज्य संख्या नहीं (यह 1, 2 और 13 से विभाज्य है)
प्रश्न 5.
अभाज्य संख्याओं के तीन युग्म लिखिए, जो 20 से कम हों और उनका योग 5 का गुणज हो।
हल:
20 से कम अभाज्य संख्याओं के तीन जोड़े जिनका योग 5 का गुणज है (2, 3) (2, 13) और (7, 13)।
प्रश्न 6.
संख्या 13 और 31 अभाज्य संख्याएँ हैं। इन दोनों संख्याओं में अंक 1 और 3 समान हैं। 100 तक की संख्याओं में से ऐसे अन्य सभी अभाज्य संख्याओं के युग्म ज्ञात कीजिए।
हल:
100 तक की अभाज्य संख्याओं के वैध युग्म जिनमें समान अंक हों (13, 31 ) ( 17, 71) ( 37, 73) और (79, 97) हैं।
प्रश्न 7.
1 से 100 के बीच 7 क्रमागत भाज्य संख्याएँ लिखिए।
हल:
सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 हैं।
प्रश्न 8.
अभाज्य संख्याओं के युग्म जिनका अंतर 2 हो जुड़वाँ अभाज्य युग्म (Twin Primes ) कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, 3 और 5 जुड़वाँ अभाज्य युग्म हैं, इसी प्रकार 17 और 19 हैं। 1 से 100 के बीच अन्य जुड़वाँ अभाज्य युग्म ज्ञात कीजिए?
हल:
1 से 100 के बीच जुड़वा अभाज्य युग्म संख्याएँ ( 3, 5) (5, 7) (11, 13) (17, 19) (29, 31) (41, 43) (59, 61) और ( 71, 73 )
प्रश्न 9.
प्रत्येक कथन को सही या गलत के रूप में पहचानिए एवं स्पष्ट कीजिए-
(a) ऐसी कोई अभाज्य संख्या नहीं है जिसका इकाई का अंक 4 हो।
(b) अभाज्य संख्याओं का गुणनफल भी अभाज्य हो सकता है।
(c) अभाज्य संख्याओं के कोई गुणनखंड नहीं होते हैं।
(d) सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ होती हैं।
(e) संख्याएँ 2 तथा 3 अभाज्य हैं। अन्य प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए अगली संख्या भाज्य है।
हल:
(a) सत्य
अभाज्य संख्या का अंत 1, 3, 7 या 9 (संख्या 2 को छोड़कर) पर होना चाहिए क्योंकि 0, 2, 4, 6, या 8 पर समाप्त होने वाली कोई भी संख्या 2 से विभाज्य होती है।
इस प्रकार ऐसी कोई अभाज्य संख्या नहीं है जिसका इकाई का अंक 4 हो ।
(b) असत्य
अभाज्य संख्याओं का गुणनफल तभी अभाज्य होता है जब उसमें केवल एक अभाज्य संख्या शामिल हो। जब आप दो या अधिक अभाज्य संख्याओं को आपस में गुणा करते हैं तो परिणाम हमेशा एक भाज्य संख्या होती है अभाज्य नहीं। चूँकि इस संख्या के अब 2 गुणनखंड हैं।
(c) असत्य
अभाज्य संख्याओं के केवल दो गुणनखंड होते हैं 1 और स्वयं वह संख्या।
(d) असत्य
संख्या 2 एक सम संख्या है लेकिन यह भाज्य नहीं है क्योंकि यह एक अभाज्य संख्या है।
(e) सत्य
2 से बड़ी प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए अगली संख्या भाज्य होती है।
उदाहरण 5 एक अभाज्य संख्या है और अगली संख्या 6 है जो भाज्य है क्योंकि अगली संख्या सम है जोकि 2 से भाज्य है।
प्रश्न 10.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या को तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त कर सकते हैं? 45, 60, 91, 105, 330.
हल:
यहाँ
45 = 3 × 3 × 5 (2 भिन्न अभाज्य संख्याएँ)
60 = 2 × 2 × 3 × 5 (3 भिन्न अभाज्य संख्याएँ)
91 = 7 × 13 (2 भिन्न अभाज्य संख्याएँ)
105 = 3 × 5 × 7 (3 भिन्न अभाज्य संख्याएँ)
330 = 2 × 3 × 5 × 11 (4 भिन्न अभाज्य संख्याएँ)
संख्या 105 ठीक तीन भिन्न अभाज्य संख्याओं अर्थात् 3 × 5 × 11 का गुणनफल है।
प्रश्न 11.
अंक 2, 4 और 5 का एक बार प्रयोग करके आप तीन अंकों की कितनी अभाज्य संख्याएँ बना सकते हैं?
हल:
2, 4 और 5 मिलकर एक अभाज्य संख्या नहीं बना सकते। क्योंकि जब इकाई अंक 2 या 4 होता है तो यह 2 से विभाजित होती है जब इकाई अंक 5 होता है। तो यह 5 से विभाजित होती है इसलिए 2, 4 और 5 मिलकर एक अभाज्य संख्या नहीं बना सकते।
प्रश्न 12.
ध्यान दीजिए कि 3 एक अभाज्य संख्या है और 2 × 3 + 1 = 7 भी एक अभाज्य संख्या है। क्या और भी ऐसी अभाज्य संख्याएँ हैं, जिन्हें 2 से गुणन करके एक जोड़ने पर अन्य अभाज्य संख्या प्राप्त होती है? ऐसे कम से कम पाँच उदाहरण ज्ञात कीजिए।
हलः
पाँच अभाज्य संख्याएँ जिनके दो गुना करके और 1 जोड़ने पर एक अन्य अभाज्य संख्या प्राप्त होती है।
1. 2 (चूँकि 2 × 2 + 1 = 5)
2. 3 (चूँकि 2 × 3 + 1 =7)
3. 5 (चूँकि 2 × 5 + 1 =11)
4. 11 (चूँकि 2 × 11 + 1 = 23)
5. 23 (चूँकि 2 × 23 + 1 = 47)
(पृष्ठ 116)
प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन-सा संख्या युग्म सह-अभाज्य है?
(a) 18 और 35
(b) 15 और 37
(c) 30 और 415
हल:
(a) यहाँ 18 के गुणनखंड = 1 × 2 × 3 × 3 और 35 के गुणनखंड = 1 × 5 × 7
1 के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
अतः 18 और 25 सह अभाज्य संख्याएँ हैं।
(b) यहाँ 15 के गुणनखंड 1 × 3 × 5 और 37 के गुणनखंड = 1 × 37 है।
1 के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
अतः 15 और 37 सह अभाज्य संख्याएँ हैं।
(c) दी गई संख्याएँ 30 और 415 है। यहाँ 30 के गुणनखंड = 1 × 2 × 3 × 5 और 415 के गुणनखंड
= 5 × 83
स्पष्टत: 5, 30 और 415 का सार्व गुणनखंड है। अतः 30 और 415 सह अभाज्य संख्या नहीं है।
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 120)
प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं का अभाज्य – गुणनखंडन ज्ञात कीजिए-
हल:
64, 105, 243, 320, 141, 1728, 729, 1024, 1331, 1000
(a) 64 का अभाज्य गुणनखंडन 2 × 2 × 2 × 2 × 2 है।
(b) 105 का अभाज्य गुणनखंडन 3 × 5 × 7 है।
(c) 243 का अभाज्य गुणनखंडन 3 × 3 × 3 × 3 × 3 है।
(d) 320 का अभाज्य गुणनखंडन 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 है।
(e) 141 का अभाज्य गुणनखंडन 3 × 4 × 7 है।
(f) 1728 का अभाज्य गुणनखंडन 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 है।
(g) 729 का अभाज्य गुणनखंडन 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 है।
(h) 1024 का अभाज्य गुणनखंडन 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 है।
(i) 1331 का अभाज्य गुणनखंडन 11 × 11 × 11 है।
(j) 1000 का अभाज्य गुणनखंडन 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 है।
प्रश्न 2.
किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में एक बार दो बार 3 और एक बार 11 हो, तो वह संख्या क्या होगी?
हल:
संख्या ज्ञात करने के लिए हम इन अभाज्य गुणनखंडनों को एक साथ गुणा करते हैं।
2 × 3 × 3 × 11 = 198, इस प्रकार संख्या 198 है।
प्रश्न 3.
30 से छोटी ऐसी तीन अभाज्य संख्याएँ बताइए, जिनका गुणनफल 1955 हो?
हल:
1955 का अभाज्य गुणनखंडन: 1955 = 5 × 17 × 23
सभी गुणनखंड अभाज्य संख्याएँ हैं और 30 से कम है।
अतः तीन अभाज्य संख्याएँ जिनका गुणनफल 1955 है 5, 17 और 23 है।
प्रश्न 4.
बिना गुणा किए निम्न संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए-
हल:
(a) 56 × 25
(b) 108 × 75
(c) 1000 × 81
हल:
(a) 56 के अभाज्य गुणनखंडन = 2 × 2 × 2 × 7
25 के अभाज्य गुणनखंडन = 5 × 5
56 × 25 का संयुक्त अभाज्य गुणनखंडन
= 2 × 2 × 2 × 7 × 5 × 5
(b) 108 के अभाज्य गुणनखंडन = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
75 के अभाज्य गुणनखंडन = 3 × 5 × 5
108 × 75 का संयुक्त अभाज्य गुणनखंडन
= 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5
(c) 1000 के अभाज्य गुणनखंडन = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
81 के अभाज्य गुणनखंडन = 3 × 3 × 3 × 3
1000 × 81 का संयुक्त अभाज्य गुणनखंडन
= 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 3 × 3 × 3 × 3
प्रश्न 5.
वह छोटी से छोटी संख्या क्या होगी जिसके अभाज्य गुणनखंडन में
(a) तीन अलग अभाज्य संख्याएँ हों।
(b) चार अलग अभाज्य संख्याएँ हों।
हल:
(a) सबसे छोटी अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं। इन अभाज्य संख्याओं के गुणनखंडन वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए उन्हें एक साथ गुणा करें।
2 × 3 × 5 = 30
इसलिए वह सबसे छोटी संख्या जिसके अभाज्य गुणनखंडन में तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ 30 है।
(b) सबसे छोटी अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5 और 7 हैं। इन अभाज्य संख्याओं के गुणनखंडन वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए उन्हें एक साथ गुणा करें।
2 × 3 × 5 × 7 = 210
इस प्रकार वह सबसे छोटी संख्या जिनके अभाज्य गुणनखंडन में चार अलग-अलग अभाज्य संख्या 210 है।
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 122)
प्रश्न 1.
क्या निम्नलिखित संख्या युग्म सह-अभाज्य संख्याएँ हैं? पहले अनुमान लगाइए फिर अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करके अपने उत्तर की जाँच
कीजिए।
(a) 30 और 45
(b) 57 और 85
(c) 121 और 1331
(d) 343 और 216
हल:
(a) 30 और 45 के गुणनखंड 30 = 2 × 3 × 5,
45 = 3 × 3 × 5
सार्व गुणनखंड 3 × 5 = 15, अत: 30 और 45 सह-अभाज्य संख्याओं का युग्म नहीं है।
(b) 57 और 85 के गुणनखंड 57 = 3 × 19, 85 = 5 × 17
1 के अलावा कोई सार्व गुणनखंड नहीं है, अत: 57 और 85 सह – अभाज्य संख्याओं के युग्म है।
(c) 121 और 1331 के गुणनखंड : 121 = 11 × 11
1331 = 11 × 11 × 11
सार्व गुणनखंड 11 × 11 = 121; अत: 121 और 1331 सह-अभाज्य संख्याओं का युग्म नहीं है।
(d) 343 और 216 के गुणनखंड: 343 = 7 × 7 × 7,
216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
1 के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, अत: 343 और 216 सह – अभाज्य संख्याओं के युग्म है।
प्रश्न 2.
क्या पहली संख्या दूसरी संख्या से विभाजित होती है ? अभाज्य गुणनखंडन का प्रयोग कीजिए।
(a) 225 और 27
(b) 96 और 24
(c) 243 और 17
(d) 999 और 99
हल:
(a) 225 और 27 के अभाज्य गुणनखंड
225 = 3 × 3 × 5 × 5 और 27 = 3 × 3 × 3
चूँकि 225 में 3 × 3 और 3 × 3 × 3 से मेल खाने के लिए 3 के आवश्यक गुणनखंड नहीं है। अतः 225 में 27 से विभाज्य होने के लिए पर्याप्त नहीं हैं।
(b) 96 और 24 के अभाज्य गुणनखंड
96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 और 24 = 2 × 2 × 2 × 3
चूँकि 96 में 24 के लिए आवश्यक गुणनखंड शामिल हैं इसलिए यह 24 से विभाज्य है ।
(c) 343 और 17 के अभाज्य गुणनखंड
343 = 7 × 7 × 7 और 17 = 1 × 17
चूँकि 343 के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य गुणनखंड 7 है न कि 17 इसलिए 343, 17 से विभाज्य नहीं है।
इस प्रकार 343, 17 से विभाज्य नहीं है।
(d) 999 और 99 के अभाज्य गुणनखंड
999 = 3 × 3 × 3 × 37 और 99 = 3 × 3 × 11
चूँकि 999 में 99 के लिए आवश्यक गुणनखंड 11 शामिल नहीं है इसलिए 999, 99 से विभाज्य नहीं है।
प्रश्न 3.
पहली संख्या का अभाग्य गुणनखंडन 2 × 3 × 7 है और दूसरी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन 3 × 7 × 11 है। क्या ये दोनों सह – अभाज्य संख्याएँ हैं? क्या इनमें से एक संख्या दूसरी संख्या को विभाजित करती है?
हल:
ये संख्याएँ सार्व गुणनखंड 3 और 7 साझा करती है। इसलिए ये सह- अभाज्य नहीं है क्योंकि न तो कोई संख्या दूसरे के सभी गुणनखंडों को शामिल नहीं करती है न ही कोई संख्या दूसरे को विभाजित कर सकती है।
प्रश्न 4.
गुणा कहता है, “कोई भी दो अभाज्य संख्याएँ सह- अभाज्य होती हैं।” क्या वह सही है?
हल:
हाँ, गुना सही है। कोई भी दो अभाज्य संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं क्योंकि उनमें 1 के अलावा कोई
अन्य सार्व कारक नहीं होता है जिसका अर्थ है कि वे हमेशा सह – अभाज्य होती है। उदाहरण के लिए, 2 और 3, 5 और 7, 11 और 131
अंतिम प्रश्न (पृष्ठ 124)
प्रश्न 1.
399 और 411 के बीच 2 के सभी गुणज क्या हैं?
हल:
399 और 411 के बीच 2 के गुणज 400 402,404, 406, 408, और 410 है।
प्रश्न 2.
330 और 340 के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 4 से विभाज्य हों। साथ ही, 1730 और 1740, तथा 2030 और 2040 के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 4 से विभाज्य हों। आप क्या देखते हैं?
हल:
330 और 340 के बीच 4 से विभाज्य संख्याएँ 332, 336 और 340 है।
1730 और 1740 के बीच 4 से विभाज्य संख्याएँ 1732, 1736 और 1740 है।
2030 और 2040 के बीच 4 से विभाज्य संख्याएँ 2032 2036 ओर 2040 विभाज्य है।
प्रश्न 3.
क्या 8536 संख्या 4 से है?
हल:
हम अंतिम दो अंकों (36) को 4 से विभाजित करके इसकी जाँच कर सकते हैं। चूँकि 36, 4 से विभाज्य है इसलिए संख्या 8536 भी 4 से विभाज्य है।
प्रश्न 4.
इन कथनों पर विचार कीजिए-
1. किसी संख्या की 4 से विभाज्यता का निर्धारण करते समय उस संख्या के केवल अंतिम दो अंक महत्त्व रखते हैं।
2. यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाजित हो जाती है तो वह मूल संख्या भी 4 से विभाजित होती है।
3. यदि कोई संख्या 4 से विभाजित होती है तो उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या भी 4 से विभाजित होती है।
क्या आप इससे सहमत हैं? क्यों या क्यों नहीं?
हल:
1. हाँ, यह सत्य है। किसी संख्या के 4 से विभाज्य होने का निर्णय लेने में केवल अंतिम दो अंक ही महत्त्व रखते हैं। क्योंकि यदि अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 4 से विभाज्य होगी।
2. हाँ, यह सत्य है। यदि अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य है, तो मूल संख्या भी 4 से विभाज्य होगी। क्योंकि यह 4 से विभाज्यता का नियम है।
3. हाँ यह सत्य है। यदि मूल संख्या 4 से विभाज्य है, तो अंतिम दो अंकों से बनी संख्या भी 4 से विभाज्य होगी। क्योंकि यदि कोई संख्या 4 से विभाज्य है तो उसके अंतिम दो अंक हमेशा 4 से विभाज्य होंगे।
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 125 – 126)
प्रश्न 1.
2024 एक अधिवर्ष है (अर्थात् फरवरी में 29 दिन होते हैं।) अधिवर्ष हर उस वर्ष में होता है जो 4 के गुणज होते हैं, सिवाय उन वर्षों के जो 100 से तो विभाजित हैं लेकिन 400 से नहीं।
(a) आपके जन्म के वर्ष से लेकर अब तक कौन-से वर्ष अधिवर्ष थे?
(b) वर्ष 2024 से 2099 तक कितने अधिवर्ष होंगे?
हल:
(a) वर्ष 2010 से 2024 तक 4 अधिवर्ष हैं! 2012. 2016, 2020 और 2024
(b) 2024 और 2099 के बीच अधिवर्ष हैं !
2024, 2028, 2032, 2036, 2040, 2044, 2048, 2052, 2056, 2060, 2064, 2068, 2072, 2076, 2080, 2088, 2092, 2096.
अतः 2024 से 2099 तक 19 अधिवर्ष हैं।
प्रश्न 2.
सबसे बड़ी और सबसे छोटी 4 अंकों की संख्याओं का पता लगाइए, जो 4 से विभाज्य हों और पैलिंड्रोम भी हों?
हल:
4 से विभाज्य सबसे बड़ी 4 अंकीय संख्या 8888 और यह पैलिंड्रोम भी है।
4 से विभाज्य सबसे छोटी 4 अंकीय संख्या 2112 और यह पैलिंड्रोम भी है।
प्रश्न 3.
खोजिए और ज्ञात कीजिए कि क्या प्रत्येक कथन सदैव सत्य है, कभी-कभी सत्य है या कभी भी सत्य नहीं है। आप अपने तर्क के समर्थन में उदाहरण दे सकते हैं।
(a) दो सम संख्याओं का योगफल, 4 का गुणज होता है।
हल:
कभी-कभी सत्य होता है। किसी भी दो सम संख्याओं का योग हमेशा 4 से विभाज्य नहीं होता है। उदाहरण
के लिए 6 + 4 = 10 जो 4 से विभाज्य नहीं है जबकि 2 + 2 = 4 जो 4 से विभाज्य है।
(b) दो विषम संख्याओं का योगफल, 4 का गुणज होता है।
हल:
कभी-कभी सत्य होता है दो विषम संख्याओं का योग वास्तव में सम हो सकता है, लेकिन जरूरी नहीं कि वह 4 का गुणज हो । उदाहरण के लिए, 1 + 5 = 6 जो 4 का गुणज नहीं है, जबकि 1 + 3 = 4 जो 4 का गुणज है इसी तरह 7 + 5 = 12 जो 4 का गुणज है।
प्रश्न 4.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को
(a) 10
(b) 5
(c) 2.
से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात कीजिए।
78, 99, 173, 572, 980, 1111, 2345
हल:
यहाँ हमें 78 को 10, 5 और 2 से देना है।
अनब स्वयं करें-
99/10 : शेष = 9, 99 / 5 : शेष = 4, 99/2 : शेष = 1
173/10: शेष = 3, 173 /5 : शेष = 3, 173 / 2 : शेष = 1
572/10 : शेष = 2, 572/5 : शेष = 2, 572/2 : शेष = 0
980/10 : शेष = 0, 980/5 : शेष = 0, 980/2 : शेष = 0
1111/10 : शेष = 1, 1111 / 5 : शेष = 1, 1111 / 2: शेष = 1
2345/10 : शेष = 5, 2345/5 : शेष = 0,2345/2 : शेष = 1
प्रश्न 5.
शिक्षक ने पूछा कि क्या 14560, संख्याओं 2, 4, 5, 8 और 10 सभी से विभाज्य है । गुणा ने इनमें से केवल दो संख्याओं से 14560 की विभाज्यता की जाँच की और कहा कि 14560 उन सभी संख्याओं से भी विभाज्य है। वे दो संख्याएँ क्या हो सकती हैं?
हल:
यदि कोई संख्या 8 से विभाज्य है तो वह स्वत: ही 4 से विभाज्य होगी।
यदि कोई संख्या 10 से विभाज्य है तो वह 2 और 5 से भी विभाज्य होगी इसलिए 8 और 10 से विभाज्यता की जाँच करने से अन्य सभी संख्याओं (2, 4, 5) से विभाज्यता की पुष्टि होती है ।
इस प्रकार संख्याओं की वह जोड़ी जिसे गुणा जाँच कर यह निर्धारित कर सकता है कि 14560 2, 4, 5, 8 और 10 में से विभाज्य है, 8 और 5 है।
प्रश्न 6.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ 2, 4, 5, 8 और 10 सभी से विभाज्य हैं?
572, 2352, 5600, 6000, 77622160
हल:
5600, 6000, 77622160
प्रश्न 7.
दो संख्याएँ लिखिए जिनका गुणनफल 10000 हो । दोनों संख्याओं का इकाई का अंक शून्य नहीं होना चाहिए।
हल:
हमें 10000 के गुणनखंड लिखने हैं! 10000 = 10 × 10. × 10 × 10 = 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5 तो 2 × 2 × 2 × 2 = 16 और 5 × 5 × 5 × 5 = 625।
अतः 16 और 625 दो संख्याएँ हैं जिनका गुणनफल 10000 है।
(पृष्ठ 125)
प्रश्न 1.
120 और 140 के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 8 से विभाज्य हों। साथ ही 1120 और 1140, तथा 3120 और 3140 के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 8 से विभाज्य हों। आप क्या देखते हैं?
हल:
120 और 140 के बीच 8 से विभाज्य संख्याएँ 120, 128 और 136 हैं। 1120 और 1140 के बीच 8 से विभाज्य संख्याएँ 1120, 1128 और 1136 हैं। 3120 और 3140 के बीच 8 से विभाज्य संख्याएँ 3120, 3128 और 3136 हैं। हम देखते हैं कि अंतिम 2 अंक समान हैं।
प्रश्न 2.
8560 के अंतिम दो अंक इस प्रकार बदलिए ताकि परिणामी संख्या 8 का गुणज हो।
हल:
8560 के अंतिम दो अंक 64 में बदलने पर परिणामी संख्या 8564, 8 का गुणज होगी।
प्रश्न 3.
इस कथन पर विचार करें।
1. दी गई संख्या 8 से विभाज्य है, यह पता करने के लिए केवल अंतिम 3 अकं ही महत्व रखते हैं।
2. यदि अंतिम 3 अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य है तो वह मूल संख्या भी 8 से विभाज्य होगी।
3. यदि मूल संख्या 8 से विभाज्य है, तो उसके अंतिम 3 अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य होगी। क्या आप इससे सहमत हैं? क्यों या क्यों नहीं?
हल:
1. हाँ, यह सही है। क्योंकि कोई भी संख्या जिसके अंतिम तीन अंक शून्य हैं, 1000 का गुणक है, और 1000, 8 का गुणक है।
2. हाँ, मैं इससे सहमत हूँ। 8 के विभाज्यता नियम के अनुसार, यदि किसी दी गई संख्या के अंतिम तीन
अंक शून्य हों या अंतिम अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो, तो ऐसी संख्या 8 से विभाज्य होगी।
3. हाँ, यह सही है। यदि किसी दी गई संख्या के अंतिम तीन अंक शून्य हों या अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो, तो ऐसी संख्या 8 से विभाज्य होगी। उदाहरण के लिए, 4832 में अंतिम तीन अंक 832 हैं, जो 8 से विभाज्य है।