Class 6 Maths Chapter 2 Notes in Hindi रेखाएँ और कोण

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Lines and Angles Class 6 Notes in Hindi Medium

रेखाएँ और कोण कक्षा 6 नोट्स

कक्षा 6 गणित अध्याय 2 नोट्स रेखाएँ और कोण

→ 2.1 बिंदु
आइए हम कागज का एक टुकड़ा लेते हैं और उस पर एक बिंदु अंकित करते हैं। इस बिंदु को A द्वारा प्रदर्शित करते हैं। A बिंदु कहलाता है। यह एक निश्चित स्थान दिखाता है। इसकी कोई लंबाई, चौड़ाई या मोटाई नहीं होती। बिंदु को अंग्रेजी के बड़े अक्षरों जैसे – A, B या C से व्यक्त करते हैं और इसे क्रमश: बिंदु A, बिंदु B या बिंदु C पढ़ा जाता है।

→ 2.2 रेखाखंड
आइए कागज के एक टुकड़े पर दो बिंदु P व Q लेते हैं। बिंदु P व Q को पैमाने से मिलाने पर रेखाखंड PQ प्राप्त होता है । इसे PQ या QP लिखा जाता है। इसके दो अंत्य बिंदु P व Q हैं। प्रत्येक रेखाखंड की एक निश्चित लंबाई होती है।

यदि हम रेखाखंड PQ को एक दिशा में अंततः बढ़ाते हैं (माना Q से)

तो हमें किरण PQ प्राप्त होती है (इसे \(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\) लिखा जाता है)
इसका केवल एक अंत्य बिंदु होता है। यह मूल बिंदु कहलाता है।
P, किरण PQ का मूल बिंदु ( प्रारंभिक बिंदु ) है।

→ 2.3 रेखा
एक रेखाखंड PQ को दोनों दिशाओं में अनंत तक बढ़ाने पर रेखा (\(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{PQ}}\) लिखा जाता है) प्राप्त होती है। रेखा का कोई अंत्य बिंदु नहीं होता है।
चित्र में PQ रेखा है। रेखा PQ को \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{PQ}}\) द्वारा प्रदर्शित करते हैं। रेखा को अंग्रेजी के छोटे अक्षरों जैसे- l, m, n … से भी व्यक्त कर सकते हैं। माना रेखा PQ व रेखा QP है।

रेखा PQ व QP दोनों समान है।

→ 2.4 किरण
माना किरण AB व किरण BA है।

किरण AB का प्रारंभिक बिंदु A है व इसे AB के अनुदिश बढ़ाते हैं । किरण BA का प्रारंभिक बिंदु B है इसे BA के अनुदिश बढ़ाते हैं। इनके प्रारंभिक बिंदु अलग-अलग हैं। तथा वे विभिन्न दिशाओं में फैली हैं। अत: किरण AB, किरण BA के समान नहीं है। किरणों के कुछ उदाहरण – टार्च से निकली प्रकाश की किरणें, सूर्य की किरणें आदि है।

→ 2.5 कोण
कोण वह आकृति है जो उभयनिष्ठ बिंदु से प्रारंभ होने वाली दो किरणों अथवा रेखाखंडों से बनती है । उभयनिष्ठ बिंदु को कोण का शीर्ष तथा उन किरणों या रेखाखंडों को कोण की बाँहे या भुजाएँ कहते है।

कोण का नामकरण
यह आकृति दो किरणों BA व BC को प्रदर्शित करती है जिसका उभयनिष्ठ अंत्य बिंदु B है । किरण \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\), व \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\), एक कोण बनाते हैं जिसे किरण पर बिदुओं द्वारा नामित किया जाता है। कोण को चिह्न ‘Z’ से दर्शाया जाता है। हम कोण ABC और CBA को क्रमश: ∠ABC व ∠CBA लिखते हैं।

→ 2.6 कोणों की तुलना
कोण का आकार
कोण का आकार घूर्णन या घुमाव की वह मात्रा है जो प्रथम किरण को दूसरी किरण तक ले जाने के लिए शीर्ष के चारों ओर आवश्यक होती है।

प्रेक्षण द्वारा तुलना

∠2 में ∠1 से ज्यादा घुमाव देखा जा सकता है।
अत: ∠2 > ∠1.

अध्यारोपण द्वारा कोणों की तुलना
आइए ∠1 व ∠2 की तुलना करते है।

हम ∠1 का अक्स (trace) बनाते हैं।

इसे ∠2 पर इस प्रकार अध्यारोपित करें ताकि एक भुजा व शीर्ष एक दूसरे पर हो।

स्पष्ट है ∠2 में अधिक घुमाव है।
अतः ∠2, ∠1 से बड़ा है।

→ 2.7 घूर्णन भुजाएँ बनाना
विभिन्न कोणों के साथ कई ‘घूर्णन भुजाएँ’ बनाएँ। आपने जो कोण बनाए हैं उन्हें सबसे छोटे से सबसे बड़े तक तुलना करके और अध्यारोपन का उपयोग करके व्यवस्थित करें।

→ 2.8 विशेष प्रकार के कोण
ज्यामिति में कई प्रकार के कोण होते हैं जो उनके माप या उनके भुजाओं और कोण के बीच संबंधों के आधार पर वर्गीकृत होते हैं।
रेखा AB पर बिंदु O चिह्नित करें।
कोण AOB एक सरल कोण है।

किरण OX, सरल कोण AOB को दो भागों में विभाजित करती है।

प्रत्येक भाग समकोण कहलाता है।
रेखाएँ AB व CD बिंदु O पर काटती हैं।

ये समकोण पर मिलती हैं।
ये रेखाएँ लंब रेखाएँ कहलाती है।

कोणों का वर्गीकरण
वह कोण जो एक समकोण से छोटा होता है समकोण कहलाता है।

वह कोण जो समकोण से बड़ा परंतु सरल कोण से छोटा हो अधिक कोण कहलाता है।

→ 2.9 कोणों को मापना
कोण को चाँदा या कोणामापक का उपयोग करके मापा जा सकता है। केंद्र पर सरल कोण 1 डिग्री के 180 इकाइयों में विभाजित होता है जिसे 1° के रूप में लिखा जाता है। आधार के सबसे दाहिने बिंदु पर निशान से शुरू होकर, हर 10° के लिए एक लंबा निशान होता है । ऐसे हर लंबे निशान से 5° के बाद एक मध्यम आकार का निशान होता है।

बिना किसी निशान के एक चाँदा को बिना अंकन का चाँदा कहा जाता है।

∠AOB की माप ज्ञात करने के लिए, हम किरण OA व किरण OB के साथ मेल खाने वाले निशानों से छोटे निशानों की संख्या गिनते हैं।
हम देखते हैं कि 10 निशानों के 4 समूह है।
अत: ∠AOB = 40°

चाँदा द्वारा कोण मापना

किसी कोण के माप का अर्थ है उसकी दो भुजाओं के बीच घूर्णन की मात्रा।
कोण को डिग्री (प्रतीक °) में मापा जाता है।
मापने के लिए प्रयोग किये जाने वाले उपकरण को चाँदा कहा जाता है।

इसके दो किनारे होते हैं – एक गोलाकार किनारा और एक सीधा किनारा।
वृत्ताकार पैमाने पर दो पैमाने होते हैं – बाहरी और भीतरी । बाहरी पैमाने को दक्षिणावर्त दिशा में 0 से 180° तक चिह्नित किया गया है।
भीतरी पैमाना 0 से 180° तक वामावर्त दिशा में अंकित होता है।
1 चिह्न 1 डिग्री को दर्शाता है और इसे 1° लिखा जाता है। कुल भाग 180 है, अतः 180° है।
0 से 180° अंक को मिलाने वाले रेखाखण्ड को चाँदा का आधार रेखा कहा जाता है।
आधार रेखा के मध्य बिंदु को चाँदे का केंद्र कहा जाता है। आइए चाँदे का उपयोग करके ∠ABC मापें।

उदाहरण: एक चाँदे का उपयोग करके निम्नलिखित का माप ज्ञात करें।

हल: (a)

1. चाँदे के केंद्र को ∠ABC के शीर्ष B पर रखें।
2. चाँदे को इस प्रकार अध्यारोपित करें कि आधार रेखा ∠ABC की भुजा BA के साथ हो।
3. देखें कि भीतरी पैमाने का O भुजा BA में से एक है।
4. भीतरी पैमाने पर उस निशान को पढ़े जहाँ कोण की दूसरी भुजा BC इसे पार करती है।
5. यह 55° है। अतः ∠ABC का माप 55° है।
   हम इसे ∠ABC = 55° लिखते हैं।

हल: (b)

1. चाँदे के केंद्र को ∠DEF के शीर्ष E पर रखें। ध्यान दें कि कोण में खुलने वाला भाग बाईं ओर हो।
2. चाँदे को इस प्रकार अध्यारोपित करें कि आधार रेखा ∠DEF की भुजा ED के साथ हो।
3. देखें कि आंतरिक पैमाने का O भुजा ED पर है।
4. बाहरी पैमाने पर उस निशान को पढ़े जहाँ कोण की दूसरी भुजा EF इसे पार करती है।
5. यह 60° है। अत: DEF का माप 60° है।
   हम इसे ∠DEF = 60° लिखते हैं।

हमारे चारों ओर कोण

हमारे लगभग चारों ओर कोण देखे जा सकते हैं।

→ 2.10 कोणों को बनाना
हमने सीखा है कि किसी दिए गए कोण को कैसे मापें।
हम किसी दिए गए माप का कोण को खींच सकते हैं। यह कार्य चाँदा का उपयोग करके भी किया जा सकता है।
उदाहरण 1: चाँदा का प्रयोग करके 50° का कोण बनाए।
हल:

1. हम एक किरण OA खींचते हैं।
2. अब हम चाँदा के केंद्र को 0 पर रखते हैं और आधार रेखा को OA के साथ संरेखित करते हैं।
3. अब हम आंतरिक वृत्त के साथ 50° के निशान पर एक बिंदु रखते हैं। इस बिंदु को B के रूप में चिह्नित करते हैं।
4. O से B के माध्यम से एक किरण खींचे। हमें ∠AOB प्राप्त होता है।

उदाहरण 2: चाँदे का प्रयोग करके 120° का कोण बनाए।
हल:

1. हम एक किरण OA खींचते है।
2. अब हम चाँदे के केंद्र को बिंदु पर रखते है और आधार रेखा को OA के साथ संरेखित करते हैं ।
3. अब हम आंतरिक वृत्त के साथ 120° के निशान पर एक बिंदु रखते हैं। इसे बिंदु C से चिह्नित करते हैं।
4. O से C तक एक किरण खींचे। हमें ∠AOC प्राप्त होता है।

→ 2.11 कोणों के प्रकार और उनके माप
दो भुजाओं के बीच घूर्णन के आधार पर हमें विभिन्न प्रकार के कोण प्राप्त होते हैं।
समकोण
वह कोण जिसका माप 90° हो, समकोण कहलाता है। ∠AOB समकोण है।
समकोण ‘L’ के आकार का होता है।

दी गई आकृति में, OB किरण, OA को O पर प्रतिच्छेद करती है और उनके बीच का कोण 90° है।

न्यून कोण
वह कोण जिसका माप 0° और 90° के बीच होता है, न्यून कोण कहलाता है। उदाहरण के लिए 10°, 40°, 30° और 85° न्यून कोण है। ∠PQR एक न्यून कोण है।

दी गयी आकृति में, किरण QR, किरण QP को Q पर प्रतिच्छेद करती है और उनके बीच का कोण 90° से कम है।

अधिक कोण
वह कोण जिसका माप 90° व 180° के बीच होता है, अधिक कोण कहलाता है। उदाहरण के लिए 92°, 100°, 160° और 179° अधिक कोण है । ∠STU एक अधिक कोण है।

दी गयी आकृति में, किरण TU किरण TS को T पर प्रतिच्छेद करती है और उनके बीच का कोण 90° से अधिक है लेकिन 180° से कम है।

सरल कोण
जब कोण की दोनों भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती है तो कोण 180° के बराबर होगा। इस प्रकार के कोण को सरल कोण कहते हैं। ∠ABC एक सरल कोण है।

दी गयी आकृति में, किरण BA और किरण BC के विपरीत दिशा में है।
उनके बीच का कोण 180° है।

प्रतिवर्ती कोण
जब कोई कोण सरल कोण से बड़ा हो और पूर्ण कोण से छोटा हो तो उसे प्रतिवर्ती कोण कहते हैं।

उदाहरण: कोणों के नाम और उनके प्रकार लिखें। साथ ही, प्रत्येक कोण की भुजाएँ और शीर्ष भी लिखें।

हल:
(a) न्यून कोण ∠COD, भुजाएँ = OC और OD, शीर्ष = O
(b) समकोण ∠MNO, भुजाएँ = NM और NO, शीर्ष = N
(c) न्यून कोण ∠PQR, भुजाएँ = QP और RQ, शीर्ष = Q
(d) अधिक कोण ∠ACB, भुजाएँ = CA और CB, शीर्ष = C
(e) प्रतिवर्ती कोण ∠PQR, भुजाएँ PQ और QR, शीर्ष Q