Class 6 Maths Chapter 10 Solutions in Hindi शून्य के दूसरी ओर

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Ganita Prakash Class 6 Maths Chapter 10 Solutions in Hindi Medium

(पृष्ठ 243)

प्रश्न 1.
क्या कोई ऐसी संख्या है जो शून्य से छोटी हो ? क्या आप ऐसी किसी वस्तु के 0 से कम होने का कोई तरीका सोच सकते हो?
हल:
ऋणात्मक संख्याएँ: शून्य से छोटी।
हाँ, 0 से छोटी संख्याएँ हो सकती हैं। इन संख्याओं को ऋणात्मक संख्याएँ कहा जाता है।
(हालाँकि शून्य से छोटी होना असंभव लग सकता है, लेकिन ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग बहुत जगह सासंरिक स्थितियों में किया जाता है।)

प्रश्न 2.
चार तल ऊपर जाने के लिए आप क्या दबाते हैं? तीन तल नीचे जाने के लिए आप क्या दबाते हैं?

हल:

अगर आप ‘+’ बटन एक बार दबाते हैं तो आप एक तल ऊपर चले जाएँगे और अगर आप ‘-‘ बटन एक बार दबाते हैं तो आप एक तल नीचे चले जाएँगे।
इसलिए चार तल ऊपर जाने के लिए आपको ‘+’ बटन चार बार दबाना होगा जिसे हम ++++ या +4 लिखते हैं।
अब तीन तल नीचे जाने के लिए आपको ‘-‘ बटन तीन बार दबाना होगा जिसे हम – – – या – 3 लिखते हैं।

(पृष्ठ 244)

प्रश्न 1.
‘मजेदार इमारत’ के सभी तलों के क्रमांक लिखिए।
हल:
आइए मजेदार इमारत के सभी तलों पर संख्या अंकित करें।

प्रश्न 2.
फूड कोर्ट से प्रारंभ कीजिए और लिफ्ट में +2 दबाइए। आप कहाँ पहुँचेंगे?
हल:
यहाँ, लक्षित तल = प्रारंभिक तल + आवश्यक गति
∴ प्रारंभिक तल +1 (फूड कोर्ट) है और बटन दबाने की संख्या +2 है।
इसलिए, लक्षित तल = प्रारंभिक तल + आवश्यक गति
= (+ 1) + (+ 2)
= +3 (बुक स्टोर)

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 245)

प्रश्न 1.
+2 तल से प्रारंभ कीजिए और लिफ्ट में -3 दबाइए । आप कहाँ पहुँचेंगे? इसे पद के रूप में दर्शाइए।
हल:
यहाँ, प्रारंभिक तल +2 (आर्ट सेंटर) है और बटन दबाने की संख्या -3 है।
इसलिए, लक्षित तल = प्रारंभिक तल + आवश्यक गति
= (+ 2) + (- 3)
= -1 (खिलौना स्टोर)।

प्रश्न 2.
दिए गए पदों को पूर्ण कीजिए। (आप प्रारंभ तल + मजेदार इमारत में गति के संदर्भ को ध्यान रखते हुए इन्हें पूर्ण कीजिए।)
(a) (+ 1) + (+ 4 ) = ___________
(b) (+ 4) + (+ 1) = ___________
(c) (+ 4) + (- 3) = ___________
(d) (- 1) + (+ 2) = ___________
(e) (- 1) + (+ 1) = ___________
(f) 0 + (+ 2) = ___________
(g) 0 + (- 2) = ___________
हल:
(a) यहाँ, प्रारंभिक तल +1 (फूड कोर्ट) है और बटन दबाने की संख्या +4 है।
इसलिए, लक्षित तल = प्रारंभिक तल + आवश्यक गति
= (+ 1) + (+ 4) = + 5 (खिलौना स्टोर)।

(b) यहाँ, प्रारंभिक तल +4 (आइसक्रीम केंद्र) है और
बटन दबाने की संख्या +1 (फूड कोर्ट) है।
इसलिए, लक्षित तल = प्रारंभिक तल + आवश्यक गति
= (+ 4) + (+ 1) = +5 (खिलौना स्टोर)।

(c) यहाँ, प्रारंभिक तल +4 (आइसक्रीम केंद्र) है और बटन दबाने की संख्या (-3) है।
इसलिए, लक्षित तल = प्रारंभिक तल + आवश्यक गति
= (+ 4) + 3)= +1 (फूड कोर्ट)।

(d) यहाँ, प्रारंभिक तल (-1) (खिलौना स्टोर) है और बटन दबाने की संख्या +2 है।
इसलिए, लक्षित तल = प्रारंभिक तल + आवश्यक गति
= (- 1) + 2
= +1 (फूड कोर्ट)।

(e) यहाँ, प्रारंभिक तल -1 (खिलौना स्टोर) है और बटन दबाने की संख्या +1 है।
इसलिए, लक्षित तल = प्रारंभिक तल + आवश्यक गति
= (- 1) + (+ 1)
= 0 (वेलकम कक्ष का अर्थ है भूतल)।

(f) यहाँ, प्रारंभिक तल 0 ( भूतल ) है और बटन दबाने की संख्या +2 है।
इसलिए, लक्षित तल = प्रारंभिक तल + आवश्यक गति
= (0) + (+ 2)
= +2 (कला केंद्र)

(g) यहाँ, प्रारंभिक तल 0 (भूतल) है और बटन दबाने की संख्या -2 है।
इसलिए, लक्षित तल = प्रारंभिक तल + आवश्यक गति
= 0 + (- 2)
= -2 ( वीडियो गेम की दुकान)।

प्रश्न 3.
विभिन्न तलों से शुरुआत करते हुए, तल (-5) पर पहुँचने के लिए आवश्यक गतियों को ज्ञात कीजिए । उदाहरण के लिए, यदि मैं तल +2 से प्रारंभ करता हूँ, मुझे -5 पर पहुँचने के लिए -7 ही दबाना होगा। अतः अभिव्यक्ति (+ 2) + (-7) – 5 है।
इसी प्रकार -5 पर पहुँचने के लिए अन्य प्रारंभिक स्थितियाँ और आवश्यक गतियों को ज्ञात कीजिए और पदों को लिखिए।
हल:
(a) अगर मैं तल +1 से शुरू करता हूँ, तो मुझे तल -5 तक पहुँचने के लिए ( -6 ) दबाना होगा। व्यंजक (1) + (- 6) = -5 है।

(b) अगर मैं तल +3 से शुरू करता हूँ, तो मुझे तल (-5) तक पहुँचने के लिए ( -8 ) दबाना होगा।
व्यंजक (+ 3) + (- 8) = -5 है।

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 245 – 246)

प्रश्न 1.
संयोजित बटन दबाने से गति के परिणामों को ध्यान में रखते हुए दिए गए पदों का मूल्यांकन कीजिए।
(a) (+ 1) + (+ 4) = ____________
(b) (+ 4) + (+ 1) = ____________
(c) (+ 4) + (- 3) + (- 2) = ____________
(d) (- 1) + ( + 2) + (- 3) = ____________
हल:
(a) लक्षित तल = (+ 1) + (+ 4) = + 5
(b) लक्षित तल = (+ 4) + (+ 1) = + 5
(c) लक्षित तल = (+ 4) + (- 3) + ( – 2)
= 4 + (- 5) = – 1
(d) लक्षित तल = (- 1) + (+ 2) + (- 3)
= (- 4) + (2) = – 2

(पृष्ठ 246)

प्रश्न 1.
दी गई संख्याओं के योज्य प्रतिलोम बताइए।
+4, -4, -3, 0, +2, -1
हल:
+4 का योज्य प्रतिलोम = – (+4) = -4
-4 का योज्य प्रतिलोम = – (-4) = +4
-3 का योज्य प्रतिलोम = – (-3) = +3
शून्य (0) का योज्य प्रतिलोम स्वयं शून्य होता है।
+ 2 का योज्य प्रतिलोम = – (+ 2) = -2
– 1 का योज्य प्रतिलोम = – (- 1) = +1

प्रश्न 2.
रेखा खींचकर योज्य प्रतिलोम से जोड़िए।

हल:

तलों का उपयोग करके संख्याओं की तुलना करना

प्रश्न 1.
सबसे नीचे के तल पर कौन है?
1. जय कला केंद्र में है, अतः, वह +2 तल पर है।
2. आसिन खेल केंद्र में है, अतः वह ……………………. तल पर है।
3. बिन्नु सिनेमा केंद्र में है, अतः वह ……………………. है।
4. अमन खिलौनों की दुकान में है, अतः वह …………………….. पर है।

हल:

1. जय कला केंद्र में है । अत: वह +2 तल पर है।
2. असिन खेल केंद्र में है। अतः वह +5 तल पर है।
3. बिन्नू सिनेमा केंद्र में है । अतः वह – 3 तल पर है।
4. अमन खिलौनों की दुकान में है। अत: वह – 1 तल पर है।
   तल – 1 सबसे छोटा है। अतः अमन सबसे नीचे के तल पर है।

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 247)

प्रश्न 1.
मजेदार इमारत का प्रयोग करते हुए दी गई संख्याओं की तुलना कीजिए और बॉक्स में < या > चिह्न भरिए।

हल:
(a) यहाँ, तल -2 तल +5 से छोटा है तब
-2 +5 है।

(b) यहाँ, तल -5 तल +4 से छोटा है तब
-5 +4 है।

(c) यहाँ, तल -5 तल -3 से छोटा है तब
-5 -3 है।

(d) यहाँ, तल +6 तल -6 से बड़ा है तब
+6 -6 है।

(e) यहाँ, तल 0 तल -4 से बड़ा
0 -4 है।

(f) यहाँ, तल 0 तल +4 से छोटा है तब
0 +4 है।

प्रश्न 2.
मजेदार इमारत में अधिक तलों की कल्पना कीजिए तथा संख्याओं की तुलना कीजिए। बॉक्स में < या > भरिए-

हल:
(a) यहाँ, तल -10 तल 12 से बड़ा है तब -10 -12
(b) यहाँ, तल +17 तल -10 से बड़ा है तब +17 -10
(c) यहाँ, तल 0 तल -20 से बड़ा है तब 0 -20
(d) यहाँ, तल +9 तल -9 से बड़ा है तब + 9 -9
(e) यहाँ, तल -25 तल -7 से छोटा है तब -25 -7
(f) यहाँ, तल +15 तल -17 से बड़ा है तब +15 -17

प्रश्न 3.
यहाँ दाईं ओर एक रेखा के रूप में दिखाई गई इमारत में यदि तल A = -12, तल D = -1 और तल E = + 1 है, तो तल B, C, F, G और H के क्रमांक बताइए।

हल:
आइए रेखा पर संख्याएँ अंकित करें।
0, -1, -2, -3, ………, -12 और 1, 2, 3, ……………., 12
अब प्रत्येक तल की गिनती करें, और हमें तलों की संख्या मिलती है।
यहाँ, B = -9, C = -6, F = +2, G = +6 और H = +11

प्रश्न 4.
यहाँ दाईं ओर दिखाई गई इमारत में निम्नलिखित तलों को अंकित कीजिए।
(a) -7
(b) -4
(c) +3
(d) -10
हल:
यहाँ, एक रेखा को एक तल माना गया है।

तल 0 से ऊपर के तल को धनात्मक संख्याओं से और 0 से नीचे के तल को ऋणात्मक संख्याओं से चिह्नित किया गया है।
अब आइए तल पर घेरा बनाकर इमारत में निम्नलिखित संख्याओं ( -7, 4, 3, 10) को अंकित करें।

(पृष्ठ 248)

प्रश्न 1.
इस संदर्भ में 15 – 5 100 – 10 और 74 – 34 ज्ञात कीजिए।
हल:
(a) दुकान में 15 पेन हैं। मैं 5 पेन निकाल लेता हूँ। दुकान में कितने पेन बचे हैं?
तो 15 – 5 = 10

(b) दराज में 100 किताबें हैं। मैं 10 किताबें हटा देता हूँ। दराज में कितनी किताबें बची हैं?
तो 100 – 10 = 90

(a) दराज में 74 किताबें हैं। मैं 34 किताबें हटा देता हूँ। दराज में कितनी किताबें बची हैं ?
तो 74 – 34 = 40

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 249)

प्रश्न 1.
दिए गए पदों को पूरा कीजिए। आप इन्हें प्रारंभिक तल से लक्षित तल तक पहुँचने के लिए आवश्यक गति प्राप्त करने के रूप में सोच सकते हैं।
(a) (+ 1) – (+ 4) = ____________
(b) (0) – (+ 2) = ____________
(c) (+ 4) – (+ 1) = ____________
(d) (0) – (- 2) = ____________
(e) (+ 4) – (- 3)= ____________
(f) (4) – (- 3) = ____________
(g) (- 1) – (+ 2) = ____________
(h) (- 2)-(- 2) = ____________
(i) (- 1) – (+ 1) = ____________
(j) (+ 3) – (- 3) = ____________
हल:
(a) (+ 1) – (+ 4) = -3
(b) (0) – (+ 2) = -2
(c) (+ 4) – (+ 1) = +3
(d) (0) – (- 2) = +2
(e) (+ 4) – (- 3) =+7
(f) (- 4) – (- 3) =-1
(g) (- 1) – (+ 2) = -3
(h) (- 2) – (- 2) = 0
(i) (- 1) – (+ 1) = -2
(j) (+ 3) – (- 3) = +6

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 251)

प्रश्न 1.
दिए गए पदों को पूरा कीजिए-
(a) (+ 40) + _____________ = +200
(b) (+ 40) + _____________ = -200
(c) (- 50) + _____________ = +200
(d) (- 50) + _____________ 200
(e) (- 200) – (- 40) = _____________
(f) (+ 200) – (+ 40) = _____________
(g) (- 200) – (+ 40) = _____________
हल:
(a) दिया है (+40) + ……………………….. = +200
माना (+ 40) + x = +200
⇒ + x = 200 – 40 = 160
∴ (+ 40) + (+ 160) = +200

(b) दिया है (+40) + …………………….. = -200
माना (+ 40) + x = -200
⇒ x = – 200 – 40 = -240
∴ (+ 40) + (- 240) = -200

(c) दिया है (-50) + ……………………. = +200
माना (- 50) + x = +200
⇒ x = + 200 – (- 50) = +250
∴ (- 50) + (+ 250) = +200

(d) दिया है (-50) + ………………….. = -200
माना (- 50) + x = -200
⇒ x = -200 – (- 50) = -150
∴ (- 50) + (- 150) = -200

(e) दिया है (− 200) − (− 40) = ………………………
माना (- 200) – (- 40) = x
⇒ (- 200) – (- 40) = -160 = x
∴ (- 200) – (- 40) = -160

(f) दिया है (+ 200 ) – ( + 40) = ………………………
माना (+ 200) – (+ 40) = x
⇒ +160 = x
∴ (+ 200) – (+ 40) = +160

(g) दिया है (- 200) – ( + 40) = ………………………
माना (- 200) – (+ 40) = x
⇒ (- 200) + (- 40) = -240 = x
∴ (- 200) + (- 40) = -240

किन्ही भी संख्याओं का योग, घटाना और तुलना करना

प्रश्न 1.
इसी प्रकार की लिफ्ट बनाकर या कल्पना करके निम्नलिखित पदों को ज्ञात करने का प्रयास कीजिए-
(a) – 125 + (- 30)
(b) + 105 – (- 55)
(c) + 105 + (+ 55)
(d) + 80 – (- 150)
(e) + 80 + (+ 150)
(f) – 99 – (-200)
(g) – 99 + (+ 200)
(h) + 1500 – (- 1500)
हल:
(a) – 125 + (- 30) = – 125 – 30 = -155
(b) + 105 – (- 55) = 105 + 55 = +160
(c) + 105 + (+ 55) = 105 + 55 = +160
(d) + 80 – (- 150) = 80 + 150 = +230
(e) + 80 + (+ 150) 80 + 150 = +230
(f) – 99 – (- 200) = – 99 + 200 = +101
(g) 99 + (+ 200) = – 99 + 200 = +101
(h) + 1500 – (- 1500) + 1500 + 1500 = 3,000

प्रश्न 2.
पिछले अभ्यासों में आपने जो उपरोक्त कार्य किया है क्या आपने ध्यान दिया कि एक ऋणात्मक संख्या को घटाना, उसी संगत धनात्मक संख्या के जोड़ने के समान है?
हल:
किसी संख्या को घटाना, उसके विपरीत को जोड़ने के समान ही है। इसलिए धनात्मक संख्या घटाना, ऋणात्मक संख्या जोड़ने जैसा है- आप संख्या रेखा पर बाईं ओर चलते हैं। ऋणात्मक संख्या घटाना, ‘धनात्मक संख्या जोड़ने जैसा है- आप संख्या रेखा पर दाईं ओर चलते हैं। उदाहरण के लिए: घटाएँ – 2 – (-3)
-2 से शुरू करें और दाईं और 3 इकाई आगे बढ़ें।

तो, – 2 – (3) = +1

प्रश्न 3.
यदि आप संख्या रेखा पर चिह्नित 5 पर खड़े हैं और वहाँ से आप 9 पर पहुचना चाहते हैं, इसके लिए आपको संख्या रेखा पर कितने कदम चलना है?
हलः
संख्या रेखा संख्याओं को एक सीधी रेखा पर दृश्य रूप से दर्शाने का एक तरीका है।
उदाहरण के लिए, संख्या रेखा के अंत में तीर होते हैं जो इस विचार को दर्शाते हैं कि कोई सीमा नहीं है। अनंत को दर्शाने के लिए प्रयोग किया जाने वाला प्रतीक ∞ है।

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 253 – 254)

प्रश्न 1.
उपरोक्त संख्या रेखा पर 3 धनात्मक तथा 3 ऋणात्मक संख्याओं को चिह्नित कीजिए ।
हल:
संख्या रेखा परः
धनात्मक संख्याएँ – हम कोई भी तीन धनात्मक संख्याएँ अंकित कर सकते हैं, जैसे 3, 6 और 91
ऋणात्मक संख्याएँ – हम कोई भी तीन ऋणात्मक संख्याएँ अंकित कर सकते हैं, जैसे -2, -5 और -8।

प्रश्न 2.
उपरोक्त 3 ऋणात्मक चिह्नित संख्याओं को दिए गए बॉक्स में लिखिए-
हल:
-2, −5 और -8 तीन ऋणात्मक संख्याएँ हैं।

प्रश्न 3.
क्या 2 > – 3? क्यों? 2 < 3? क्यों? हल: हाँ, 2 एक धनात्मक संख्या है और -3 एक ऋणात्मक संख्या है। हम जानते हैं कि धनात्मक संख्याएँ हमेशा ऋणात्मक संख्याओं से बड़ी होती हैं। अतः 2 > -3
∴ हाँ, -2, 3 से छोटा है क्योंकि -2 एक ऋणात्मक संख्या है और 3 एक धनात्मक संख्या है।
अत: -2 < 3

प्रश्न 4.
हल कीजिए
(i) – 5 + 0
(ii) 7 + (- 7)
(iii) – 10 + 20
(iv) 10 – 20
(1) 7 – ( – 7)
(vi) – 8 – (- 10)?
हल:
(i) – 5 + 0
किसी भी संख्या में 0 जोड़ने पर संख्या का मान नहीं बदलता है।
– 5 + 0 = -5

(ii) 7 + (- 7)
किसी धनात्मक संख्या को उसके संगत ऋणात्मक संख्या में जोड़ने पर परिणाम 0 आता है।
7 + ( – 7) = 0)

(iii) – 10 + 20
विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने के लिए, बड़े
निरपेक्ष मान से छोटे निरपेक्ष मान को घटाएँ और बड़े निरपेक्ष मान से चिह्न लें।
– 10 + 20 = 10

(iv) 10 – 20
किसी बड़ी संख्या को छोटी संख्या से घटाने पर ऋणात्मक परिणाम प्राप्त होता है।
10 – 20 = -10

(v) 7 – ( – 7)
किसी ऋणात्मक संख्या को घटाना उस संख्या के धनात्मक प्रतिरूप को जोड़ने के समान है।
7 – ( – 7) = 7 + 7 = 14

(vi) – 8 – (- 10)
किसी ऋणात्मक संख्या को घटाना उस संख्या के संगत धनात्मक संख्या को जोड़ने के समान है।
– 8 – (- 10) = – 8 + 10 = 2

जोड़ और घटा के लिए बिना अंकित की गई संख्या रेखा का प्रयोग

(पृष्ठ 255)

प्रश्न 1.
अचिन्हित संख्या रेखा का उपयोग कर निम्नलिखित पदों को पूर्ण कीजिए।

(a) – 125 + (- 30)= ______________
(b) + 105 – (55) = ______________
(c) + 80 – (- 150) = ______________
(d) – 99 – (- 200) = ______________
हल:
(a) – 125 + (30)
संख्या रेखा पर दो ऋणात्मक संख्याओं का योग

∴ – 125 + (- 30)= – 125 – 30 = -155

(b) + 105 – (- 55)
ऋणात्मक संख्या घटाना धनात्मक संख्या जोड़ने के समान है।

∴ + 105 – (- 55) = 105 + 55 = 160

(c) + 80 – (- 150)
ऋणात्मक संख्या घटाना धनात्मक संख्या जोड़ने के समान है।

∴ + 80 – (150) = 80 + 150 = 230

(d) – 99 – (- 200)
ऋणात्मक संख्या घटाना धनात्मक संख्या जोड़ने के समान है।

∴ – 99 – (- 200) = – 99 + 200 = 101

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 257)

प्रश्न 1.
टोकन का उपयोग करते हुए जोड़ को पूरा कीजिए।
(a) (+ 6) + (+ 4)
(b) (- 3) + (- 2)
(c) (+ 5) + (- 7)
(d) (2) + (+ 6)
हल:
(a) (+ 6) + (+ 4)
(+6) को दर्शाने के लिए, हम 6 धनात्मक टोकन का उपयोग करते हैं

और (+4) को दर्शाने के लिए, हम 4 धनात्मक टोकन का उपयोग करते हैं

अतः उन्हें संयोजित करके, हम पाते हैं

⇒ (+ 6) + (+ 4) = (+10)
∴ सभी धनात्मक टोकन की गिनती करने पर, हम (+10) प्राप्त करते हैं।

(b) (- 3) + (- 2)
(-3) को दर्शाने के लिए, हम 3 ऋणात्मक टोकन का उपयोग करते हैं

(-2) को दर्शाने के लिए, हम 2 ऋणात्मक टोकन का उपयोग करते हैं

इन्हें संयोजित करने पर, हमें प्राप्त होता है।

⇒ (- 3) + (- 2) = -5
∴ सभी ऋणात्मक टोकन की गिनती करने पर, हमें (5) प्राप्त होता है।

(c) (+ 5) + (- 7)
(+5) को दर्शाने के लिए, हम 5 धनात्मक टोकन का उपयोग करते हैं

(-7) को दर्शाने के लिए, हम 7 ऋणात्मक टोकन का उपयोग करते हैं

∴ शेष टोकन = (+ 5) + (− 7) = −2

(d) (- 2) + (+ 6)
(-2) को दर्शाने के लिए, हम 2 ऋणात्मक टोकन का उपयोग करते

(+6) को दर्शाने के लिए, हम 6 धनात्मक टोकन का उपयोग करते हैं

अतः
(- 2) + (+ 6) = +4
शेष टोकन की गिनती करने पर, हमें

(+4) टोकन मिलते हैं।

प्रश्न 2.
नीचे दिए गए टोकन युग्म में से शून्य युग्म को निरस्त (रद्द कीजिए। प्रत्येक स्थिति में लिफ्ट चालक कौन-से तल है? प्रत्येक स्थिति में संगत धनात्मक कथन क्या होगा?

हल:
(a) चित्र से हम देखते हैं कि हम तीन शून्य जोड़े हटा सकते हैं।

चूँकि दो ऋणात्मक टोकन शेष हैं, इसलिए लिफ्ट चालक भूतल से नीचे दूसरे तल पर है।
संगत योग कथन (+ 3) + (− 5) = (−2) है।

(b) चित्र से हम देखते हैं कि हम तीन शून्य जोड़े हटा सकते हैं।

चूँकि तीन धनात्मक टोकन शेष हैं, लिफ्ट चालक भूतल से ऊपर तीसरे तल पर है।
संगत योग कथन (+ 6) + (− 3) = (+3) है।

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 258)

प्रश्न 1.
टोकन का उपयोग करके निम्नलिखित अंतरों का मूल्यांकन कीजिए। यह भी जाँचिए कि आपको वही परिणाम मिलता है जो अब आप अन्य तरीकों से जानते हैं। घटाव को पूरा कीजिए-
(a) (+ 10) – ( + 7)
(b) (- 8) – (- 4)
(c) (- 9) – (- 4)
(d) (+ 9) – (+ 12)
(e) (- 5) – (- 7)
(f) (- 2) – (- 6)
हल:
(a) यहाँ, 10 धनात्मक में से 7 धनात्मक घटाएँ।

अत: (+ 10) – (+ 7) = +3

(b) यहाँ, -8 ऋणात्मक से -4 ऋणात्मक घटाएँ।

अतः (-8) – (-4) = -4

(c) यहाँ, -9 ऋणात्मक में से 4 ऋणात्मक घटाएँ।

अतः (- 9) – (4) = -5

(d) यहाँ 9 धनात्मक में से 12 धनात्मक घटाव के लिए पर्याप्त टोकन नहीं है।
इसलिए, हमने अतिरिक्त 3 शून्य जोड़े (1 जोड़ा एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) डाले। अब हम 12 धनात्मक घटा सकते हैं।

अत: (+ 9) – (+ 12) = -3

(e) -5 ऋणात्मक से -7 ऋणात्मक घटाव के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं।
इसलिए, हमने अतिरिक्त दो शून्य जोड़े (1 जोड़ी = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) रखे।
अब हम – 7 ऋणात्मक घटा सकते हैं।

अत: (- 5) – (- 7) = +2

(f) -2 ऋणात्मक से -6 ऋणात्मक घटाव के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं।
इसलिए, हमने अतिरिक्त चार शून्य जोड़े (1 जोड़ी = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) डाले।
अब हम – 6 ऋणात्मक घटा सकते हैं।

अत: (- 2) – (- 6) = +4

प्रश्न 2.
घटाव को पूरा कीजिए-
(a) (- 5) – (- 7)
(b) (+ 10) – (+ 13)
(c) (- 7) – (- 9)
(d) (+ 3) – (+ 8)
(e) (- 2) – ( – 7)
(f) (+ 3) – (+ 15)
हल:
(a) -5 ऋणात्मक से -7 ऋणात्मक घटाव के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं।
इसलिए, हमने अतिरिक्त दो शून्य जोड़े (1 जोड़ी = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) रखे।
अब हम – 7 ऋणात्मक घटा सकते हैं।

अत: (-5) – (-7) = +2

(b) 10 धनात्मक में से 13 धनात्मक घटाव के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं।
इसलिए, हमने अतिरिक्त 3 शून्य जोड़े (1 जोड़ी = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) डाले।
अब हम 13 धनात्मक घटा सकते हैं।

अत: (+ 10) – (+ 13) = -3

(c) -7 ऋणात्मक से -9 ऋणात्मक घटाव के लिए पर्याप्त टोकन नहीं है।
इसलिए, हमने अतिरिक्त दो शून्य जोड़े (1 जोड़ी = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) रखे।
अब हम -9 ऋणात्मक घटा सकते हैं।

अत: (- 7) – (- 9) = +2

(d) 3 धनात्मक में से 8 धनात्मक घटाव के लिए पर्याप्त टोकन नहीं है।
इसलिए, हमने अतिरिक्त 5 शून्य जोड़े (1 जोड़ी = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) डाले।
अब हम 8 धनात्मक घटा सकते हैं।

अत: (+ 3) – (+ 8) = -5

(e) -2 ऋणात्मक से -7 ऋणात्मक घटाव के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं।
इसलिए, हमने अतिक्ति दो शून्य जोड़े (1 जोड़ी एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) रखे।
अब हम -7 ऋणात्मक घटा सकते हैं।

अतः (- 2) – (-7) = +5

(f) 3 धनात्मक में से 15 धनात्मक घटाव के लिए
पर्याप्त टोकन नहीं हैं।
इसलिए, हमने अतिरिक्त 12 शून्य जोड़े (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) डाले।
अब हम 15 धनात्मक घटा सकते हैं।

अतः (+ 3 ) – (+ 15) = -12

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 259)

प्रश्न 1.
घटाने का प्रयास कीजिए- – 3 – (+ 5)
आपको कितने शून्य के जोड़ें रखने होंगे? इसका परिणाम क्या होगा ?
हल:
हमें -3 ऋणात्मक से 5 धनात्मक निकालने हैं। लेकिन पर्याप्त धनात्मक नहीं हैं।
इसलिए, हमने अतिरिक्त 5 शून्य जोड़े (1 जोड़ी = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) डाले।
अब हम 5 धनात्मक निकाल सकते हैं।

अतः – 3 (+ 5) = -8

प्रश्न 2.
टोकन का उपयोग करते हुए निम्न का मूल्यांकन कीजिए।
(a) (- 3) – (+ 10)
(b) (+ 8) – (- 7)
(c) (- 5) – (+ 9)
(d) (- 9) – (+ 10)
(e) (+ 6) – (- 4)
(f) (- 2 ) – (+ 7)
हल:
(a) (-3) – (+10)
हमें -3 ऋणात्मक से 10 धनात्मक निकालने हैं। लेकिन पर्याप्त धनात्मक नहीं हैं।
इसलिए, हमने अतिरिक्त 10 शून्य जोड़े ( 1 जोड़ी एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) रखे।
अब हम 10 धनात्मक निकाल सकते हैं।

अतः (- 3) – (+ 10) = -13

(b) (+ 8) – (-7)
हमें 8 धनात्मक में से -7 ऋणात्मक निकालने है। लेकिन पर्याप्त ऋणात्मक नहीं है।
इसलिए, हमने अतिरिक्त 7 शून्य जोड़े (1 जोड़ी = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) रखे।
अब हम -7 ऋणात्मक निकाल सकते हैं।

अतः (+ 8) – (- 7) = 15

(c) (- 5) – (+ 9)
हमें -5 ऋणात्मक में से 9 धनात्मक निकालने हैं। लेकिन पर्याप्त धनात्मक नहीं हैं।
इसलिए, हमने अतिरिक्त 9 शून्य जोड़े (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) रखे।
अब हम 9 धनात्मक निकाल सकते हैं।

अतः 5 – (+9 ) = -14

(d) (-9) – ( + 10 )
हमें – 9 ऋणात्मक में से 10 धनात्मक निकालने हैं। लेकिन पर्याप्त धनात्मक नहीं हैं।
इसलिए, हमने अतिरिक्त 10 शून्य जोड़े (1 जोड़ा एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) रखे।
अब हम 10 धनात्मक निकाल सकते हैं।

अतः – 9 – (+ 10) = −19

(e) (+ 6) – (- 4)
हमें 6 धनात्मक में से -4 ऋणात्मक निकालने हैं। लेकिन पर्याप्त ऋणात्मक नहीं हैं।
इसलिए, हमने अतिरिक्त 4 शून्य जोड़े (1 जोड़ी एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) रखे।
अब हम – 4 धनात्मक निकाल सकते हैं।

अत: (+ 6) – (- 4) = 10

(f) (- 2) – (+ 7)
हमें -2 ऋणात्मक में से 7 धनात्मक निकालने हैं।
लेकिन पर्याप्त धनात्मक नहीं हैं।
इसलिए, हमने अतिरिक्त 7 शून्य जोड़े (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) रखे।
अब हम 7 धनात्मक निकाल सकते हैं।

अत: (-2) – (+7) = -9

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 260)

प्रश्न 1.
माना आप ₹ 0 के साथ अपना बैंक खाता खोलते हैं, इसके पश्चात् आप उसमें ₹ 30, ₹ 40 और ₹ 50 जमा करवाते हैं और ₹ 40, ₹ 50 और ₹ 60 की निकासी करते हैं। अब आपके बैंक खाते में कितनी जमा राशि शेष है?
हल:
यहाँ, जमा = ₹ 30 + ₹ 40 + ₹ 50 = ₹ 120
और निकासी = ₹ 40 + ₹ 50 + ₹60 = ₹ 150
∴ शेष = जमा – निकासी
= ₹ 120 – ₹ 150
= -₹ 30
इसलिए, आपके बैंक खाते की शेष राशि – ₹30 है।

प्रश्न 2.
माना आप ₹ 0 के साथ अपना बैंक खाता खोलते हैं और अपने उसी खाते में से ₹ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 और 128 निकाल लेते हैं, इसके पश्चात् आप एक बार में ₹ 256 रूपए जमा कर देते हैं। अब आपके बैंक खाते में कितनी जमा राशि शेष है?
हल:
यहाँ, निकासी = ₹ 1 + ₹ 2 + ₹ 4 + ₹ 8 + ₹ 16 + ₹ 32 + ₹ 64 + ₹ 128 = ₹ 255
∴ शेष = जमा – निकासी
= ₹ 256 – 255 = ₹ 1
इसलिए, आपके बैंक खाते का शेष ₹ 1 है।

प्रश्न 3.
आपके बैंक खाते में प्रायः धनात्मक जमा राशि अधिक अच्छी क्यों मानी जाती है? ऐसी कौन-सी परिस्थितियाँ हो सकती हैं, जिनके तहत अस्थायी रूप से ऋणात्मक (निकासी) शेष जमा राशि सार्थक हो सकती है?
हल:
अपने बैंक खाते में धनात्मक जमा राशि रखना आमतौर पर अच्छा होता है क्योंकि-

1. ओवरड्राफ्ट शुल्क से बचाना – यदि आपके खाते की राशि ऋणात्मक हो जाती है तो कई बैंक शुल्क लगाते हैं।
2. वित्तीय सुरक्षा प्रदान करना – धनात्मक जमा राशि यह सुनिश्चित करती है कि आपके पांस अप्रत्याशित व्यय या आपात स्थितियों के लिए धन उपलब्ध है।
3. अच्छा वित्तीय रिकॉर्ड रखना- धनात्मक जमा राशि बनाए रखने से आपके वित्तीय स्कोर को बेहतर बनाने में मदद मिल सकती है, जिससे भविष्य में ऋण या क्रेडिट- कार्ड प्राप्त करना आसान हो जाता है।
   कुछ विशिष्ट परिस्थितियाँ हो सकती हैं जहाँ अस्थायी रूप से ऋणात्मक शेष राशि रखने पर विचार किया जा सकता है।
   • ओवरड्राफ्ट सुरक्षा – कुछ बैंक ओवरड्राफ्ट सुरक्षा प्रदान करते हैं जो चेक बाउंस या घोषित लेनदेन से बचने में. मदद कर सकती है।
   • नियोजित बड़े व्यय – यदि आप जानते हैं कि आपके पास शीघ्र ही बड़ी आय होगी और आपको आवश्यक खरीददारी करनी होगी तो अस्थायी ऋणात्मक जमा राशि स्वीकार्य हो सकता है।

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 260 – 261)

प्रश्न 1.
भौगोलिक प्रतिच्छेद को देखते हुए उनकी संबंधित ऊँचाइयाँ लिखिए-


हल:
आपको ग्राफ से प्रत्येक बिंदु A से G तक की ऊँचाई का अनुमान लगाना होगा।
प्रत्येक बिंदु के अनुरूप उँचाई का मान निर्धारित करने के लिए ऊर्ध्वाधर अक्ष को देखें।
ऊँचाई–
A = +1500 m
B = -500 m
C = +300 m
D = -1200 m
E = +1200 m
F = -200 m
G = +100 m

प्रश्न 2.
इस भौगोलिक प्रतिच्छेद में सबसे उच्चतम बिंदु एवं सबसे निम्नतम बिंदु कौन-सा है?
हल:
भौगोलिक प्रतिच्छेद पर उस बिंदु की पहचान करें जो समुद्र तल से ऊपर की ऊँचाई पर पहुँचता है। बिंदु A सबसे ऊँचा बिंदु दर्शाता है। इसी तरह समुद्र तल से नीचे के बिंदुओं पर भी विचार करते हुए सबसे निचला बिंदु ज्ञात करें। बिंदु D सबसे निचला बिंदु दर्शाता है।

प्रश्न 3.
क्या आप बिंदुओं A, B, …, G को ऊँचाइयों के अवरोही (घटते क्रम में लिख सकते हैं? क्या आप बिंदुओं को ऊँचाइयों के आरोही (बढ़ते क्रम में लिख सकते हैं? हल: प्रश्न 1 में निर्धारित ऊँचाइयों के आधार पर, बिंदुओं को उच्चतम से निम्नतम (घटते क्रम में) A > E > C > G > F > B> D और फिर निम्नतम से उच्चतम (बढ़ते क्रम में) D < B < F < G < C < E < A में व्यवस्थित करें।

प्रश्न 4.
पृथ्वी पर समुद्र तल से सबसे ऊँचा स्थान कौन-सा है? इसकी ऊँचाई कितनी है ?
हल:
पृथ्वी पर सबसे ऊँचा स्थान माउंट एवरेस्ट है जो समुद्र तल से 8848 मीटर की ऊँचाई पर है।

प्रश्न 5.
भूमि या महासागर तल पर समुद्र तल के सापेक्ष सबसे निम्नतम बिंदु क्या है? इसकी ऊँचाई कितनी है? (यह ऊँचाई ऋणात्मक होनी चाहिए।)
हल:
पृथ्वी पर सबसे निचला ज्ञात बिंदु प्रशांत महासागर में मरीना ट्रेंच है, जो समुद्र तल से 11034 मीटर की गहराई पर है।

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 262)

प्रश्न 1.
क्या आप जानते हैं कि भारत में कुछ ऐसे स्थान भी हैं जहाँ कभी-कभी तापमान 0 °C से नीचे चला जाता है ? भारत में ऐसे स्थानों का पता लगाइए जहाँ तापमान सामान्यतः बार 0 °C से भी नीचे पहुँच जाता है। इन स्थानों में क्या समानता है? अन्य स्थानों की तुलना में यहाँ अधिक ठंड क्यों होती है?

हल:
स्थान
लद्दाख – यह क्षेत्र अपनी अत्यधिक ठंडी सर्दियों के लिए जाना जाता है, जहाँ तापमान अक्सर 0 °C से नीचे चला जाता है।

हिमाचल प्रदेश – हिमाचल प्रदेश के कुछ ऊँचाई वाले क्षेत्रों, विशेषकर उत्तरी भागों में तापमान शून्य से नीचे जा सकता है।

जम्मू और कश्मीर – लद्दाख की तरह, जम्मू और कश्मीर के कुछ हिस्सों, विशेषकर पहाड़ी क्षेत्रों में, अकड़ाने वाली ठंड का सामना करना पड़ता है।

सिक्किम – पहाड़ी राज्य होने के कारण सिक्किम के कुछ क्षेत्रों में तापमान शून्य से नीचे चला जाता है। अरुणाचल प्रदेश- अरुणाचल प्रदेश के ऊँचे इलाकों में 0 °C से नीचे तापमान से साथ ठंडी परिस्थितियाँ हो सकती हैं।

सामान्य कारक-
ये सभी स्थान हिमालय क्षेत्र में स्थित हैं, जो अत्यधिक ऊँचाई वाला क्षेत्र है।

ठंडे तापमान का कारण-
ऊँचाई – ऊँचाई बढ़ने के साथ तापमान घटता है। ऐसा मुख्य रूप से ऊँचाई पर वायुमंडल के पतले होने के कारण होता है, जिसके कारण गर्मी कम रहती है।

भूमध्य रेखा से दूरी – ये क्षेत्र भूमध्य रेखा से अधिक दूर हैं, जहाँ प्रत्यक्ष सूर्य का प्रकाश कम मिलता है, जिसके कारण तापमान अधिक ठंडा रहता है।

प्रश्न 2.
लद्दाख के लेह क्षेत्र में सर्दी के समय अत्यधिक ठंड हो जाती है। नीचे दी गई सारणी को देखिए, यह लेह के नवंबर माह के एक दिन के विभिन्न समयों के तापमान को दर्शाती है। साथ दिन और रात के सही समय के साथ संबंधित तापमान का मिलान कीजिए।

हल:

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 263)

प्रश्न 1.
उपरोक्त दूसरे ग्रिड के लिए गणना कीजिए और सीमा योग ज्ञात कीजिए।

हल:
आइए दिए गए ग्रिड का विश्लेषण करें और सीमा योग ज्ञात करें।
ग्रिड को समझना।
दिया गया ग्रिड संख्याओं की 3 x 3 व्यवस्था है।
प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में संख्याओं का योग समान होना चाहिए।
सीमा योग की गणना-
ऊपर की पंक्ति : 5 + (-3) + (- 5) = -3
अंतिम पंक्ति : (- 8) + (- 2) + 7 = -3
बायां स्तंभ : 5 + 0 + (- 8) = -3
दायां स्तंभ : (- 5) + (- 5) + 7 = -3
इसलिए, दिए गए ग्रिड का सीमा योग -3 है।

प्रश्न 2.
आवश्यक सीमा योग बनाने के लिए ग्रिड को पूर्ण कीजिए-

हल:
यहाँ पूर्ण ग्रिड है

सीमा योग + 4 है
स्पष्टीकरण – हमने यह सुनिश्चित करने के लिए लुप्त संख्याएँ भरीं कि प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ का योग दि गए सीमा योग के बराबर है।
उदाहरण के लिए, पहले ग्रिड में, +4 का सीमा योग
प्राप्त करने के लिए, ऊपर की पंक्ति में लुप्त संख्या 6 और 8 होनी चाहिए। (चूँकि – 10 + 6 + 8 = +4)।
* शेष दो ग्रिड स्वयं बनाने का प्रयास करें।

प्रश्न 3.
उपरोक्त अंतिम ग्रिड में -4 सीमा योग प्राप्त करने के लिए एक से अधिक तरीके बताइए ।
हल:
अंतिम ग्रिड को सीमा योग -4 से भरने के कई तरीके हैं, यहाँ दो उदाहरण दिए गए हैं-

प्रश्न 4.
कौन – सी अन्य ग्रिड विभिन्न विधियों से भरी जा सकती है? इसके क्या कारण हो सकते हैं?
हल:
बड़े आकार (अधिक पंक्तियाँ और स्तंभ) वाले ग्रिड के कई हल होने की संभावना है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सीमा योग को बनाए रखते हुए संख्याओं को वितरित करने की स्वतंत्रता की अधिक डिग्री होती है।

प्रश्न 5.
एक सीमा पूर्णांक वर्ग पहेली बनाइए और इसे पूर्ण करने के लिए सहपाठियों को चुनौती दीजिए।
हल:
पहेली

सीमा योग: 2
(अतिरिक्त नोट: अंतिम ग्रिड को भरने के दो अधिक तरीके हो सकते हैं।
अलग-अलग क्रम योग के साथ बड़े ग्रिड बनाने के अधिक जटिल और चुनौतीपूर्ण पहेलियाँ बन सकती हैं।)

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 264)

प्रश्न 1.
पुनः प्रयास कीजिए, इस बार अलग संख्याएँ चुनिए । आपको इन संख्याओं का क्या योग प्राप्त हुआ? क्या यह पहले से भिन्न है ? कुछ और बार प्रयास कीजिए।
हल:
आइए संख्या – 5 पर गोला बनाइए।
अब खेल के अनुसार, आइए संख्या – 5 वाले पंक्ति और स्तंभ को काट दीजिए।

आइए फिर से संख्या 3 पर गोला लगाइए।
आइए संख्या 3 के साथ पंक्ति और स्तंभ को काट दीजिए।

आइए फिर से संख्या – 1 पर गोला बनाइए।
आइए संख्या 1 के साथ पंक्ति और स्तंभ को काट दीजिए

आइए फिर से शेष संख्या 2 पर गोला लगाइए।
आइए संख्या 2 के साथ पंक्ति और स्तंभ को काट दीजिए।

अब आइए गोले में बनी संख्याओं को जोड़ें = – (5)
+ 3 + (- 1) + (2) = – 6 + 5 = -1
इसलिए हमें समान मान (1) मिलता है।
अब स्वयं प्रयास करें।

प्रश्न 2.
नीचे दी गई ग्रिड के साथ भी इसी तरह का खेल खेलिए। आप क्या उत्तर प्राप्त करते हैं?

हल:
(a) आइए संख्या 1 पर गोला लगाइए।
अब खेल के अनुसार, आइए संख्या 1 वाली पंक्ति और स्तंभ को काट दीजिए।

आइए फिर से संख्या 13 पर गोला बनाइए।
आइए संख्या 13 वाली पंक्ति और स्तंभ को काट दीजिए।

आइए फिर से संख्या -20 पर गोला लगाइए। आइए संख्या -20 वाली पंक्ति और स्तंभ को काट दीजिए।

आइए फिर से शेष संख्या -2 पर गोला लगाइए।
आइए संख्या -2 वाली पंक्ति और स्तंभ को काट दीजिए।

अब गोलाकार संख्याओं को जोड़ें = 1 + 13 – 20 – 2 = 14 – 22 = -8 जो कि अभीष्ट उत्तर है।

(b) आइए संख्या 0 पर गोला लगाइए।
अब खेल के अनुसार, आइए संख्या0 वाली पंक्ति और स्तंभ को काट दीजिए

फिर से आइए संख्या -5 पर गोला बनाइए।
आइए संख्या -5 वाली पंक्ति और स्तंभ को काट दीजिए।

फिर से आइए संख्या 1 पर गोला बनाइए।
आइए संख्या 1 वाली पंक्ति और स्तंभ को काट दीजिए।

फिर से आइए शेष संख्या – 10 पर गोला बनाइए।
आइए संख्या – 10 वाली पंक्ति और स्तंभ को काट दीजिए।

अब आइए घेरे गए अंकों को जोड़ें
= 0 + (- 5) + 1 (- 10) = -14
जो कि अभीष्ट उत्तर है ।

प्रश्न 3.
इन ग्रिडों में क्या विशेष हो सकता है? क्या संख्याओं में जादू है या इन्हें व्यवस्थित करने के तरीके में जादू है या दोनों में हैं? क्या आप ऐसे और ग्रिड बना सकते हैं?
हल:
ग्रिड संख्याओं और उनके व्यवस्थित होने के तरीके दोनों के कारण आकर्षक हो सकते हैं। यहाँ कारण बताया गया है।

1. संख्याएँ – ग्रिड में संख्याएँ विशिष्ट पैटर्न या अनुक्रम का अनुसरण कर सकती हैं, जैसे जादुई वर्ग जहाँ प्रत्येक पंक्ति, स्तंभ और विकर्ण में संख्याओं का योग समान होता है।
2. व्यवस्था – तत्त्वों को ग्रिड में जिस प्रकार व्यवस्थित किया जाता है, उससे दृश्य संतुलन और सामंजस्य पैदा हो सकता है।

आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 265 – 266)

प्रश्न 1.
दिए गए युग्मों के बीच सभी पूर्णांकों को बढ़ते क्रम में लिखिए।
(a) 0 और -7
(b) -4 और 4
(c) -8 और -15
(d) -30 और -23
हल:
(a) 0 और −7 के बीच बढ़ते क्रम में पूर्णांक -6, -5, -4, -3, -2, −1 हैं।

(b) -4 और 4 के बीच बढ़ते क्रम में पूर्णांक -3,
-2, -1, 0, 1, 2, 3 हैं।

(c) -8 और -15 के बीच बढ़ते क्रम में पूर्णांक
-14, -13, -12, -11, -10, -9 हैं।

(d) -30 और -23 के बीच बढ़ते क्रम में पूर्णांक -29,
-28, -27, -26, -25, -24 हैं।

प्रश्न 2.
ऐसी तीन संख्याएँ बताइए जिनका योग -8 है।
हलः
तीन संख्याएँ जिनका योग -8 है वे हैं -10, 1 और 3 जब हम उन्हें एक साथ जोड़ते हैं, तो हमें – 10 + 1 + 1 = -8 मिलता है।

प्रश्न 3.
यहाँ दो पासे हैं जिनके फलकों पर संख्याएँ दर्शाई गई हैं- -1, 2, 3, 4, -5, 6 इन पासों को उछालने पर सबसे छोटा संभावित योग – 10 = (- 5) + (- 5) है और सबसे बड़ा संभावित योग 12 = (6) + (6) है। इन दो पासों पर संख्याओं को जोड़ने से (-10) और (+12) के बीच की कुछ संख्याएँ प्राप्त करना संभव नहीं है। ऐसी संख्याओं का पता लगाइए।
हल:
आइए उन योगों को खोजें जो इन दो पासों को घुमाने पर संभव नहीं हैं।
पासों के चेहरे हैं: -1, 2, -3, 4, -5 और 6
सबसे पहले, आइए सभी संभावित योगों को सूचीबद्ध करें-
दो ऋणात्मक संख्याओं का योग-

• (- 1) + (- 1) = -2
• (- 1) + (- 3) = -4
• (- 1) + (- 5) = -6
• (- 3) + (- 3) = -6
• (- 3) +(- 5) = -8
• (- 5) + (- 5) = -10

एक ऋणात्मक संख्या तथा एक घनात्मक संख्या का योग-

• (- 1) + 2 = 1
• (- 1) + 4 = 3
• (- 1) + 6 = 5
• (- 3) + 2 = -1
• (- 3) + 4 = 1
• (- 3) + 6 = 3
• (- 5) + 2 = -3
• (- 5) + 4 =-1
• (-5) + 6 = 1

दो धनात्मक संख्याओं का योग-

• 2 + 2 = 4
• 2 + 4 = 6
• 2 + 6 = 8
• 4 + 4 = 8
• 4 + 6 = 10
• 6 + 6 = 12

अब, आरोही क्रम में सभी संभावित योगों को सूचीबद्ध करें-

• -10, -8, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 3, 4, 5, 6, 10, 12
  – 10 और 12 के बीच संख्याओं का योग जो प्राप्त करना संभव नहीं है-
• -9, -7, -5, 0, 2, 7, 9, 11

प्रश्न 4.
इन्हें हल कीजिए-

8 – 13	(- 8) – (13)	(- 13) – (- 8)	(- 13) + (- 8)
8 + (- 13)	(- 8) – (- 13)	(13) – 8	13 – (- 8)

हल:
(a) 8 – 13 = -5
(b) – 8 – (13) = – 8 – 13 = -21
(c) – 13 – (- 8) = – 13 + 8 = -5
(d) (- 13) + (- 8) = – 13 – 8 = -21
(e) 8 + (-13) = 8 – 13 = -5
(f) – 8 – (- 13) = – 8 + 13 = 5
(g) (13) – 8 = 13 – 8 = 5
(h) 13 – (-8) = 13 + 8 = 21

प्रश्न 5.
निम्नलिखित के वर्ष ज्ञात कीजिए?
(a) वर्तमान वर्ष से 150 वर्ष पूर्व कौन – सा वर्ष था? …………………….
(b) वर्तमान वर्ष से 2200 वर्ष पूर्व कौन – सा वर्ष था? ………………..
संकेत याद रखिए कि कोई 0 वर्ष नहीं था।
(c) 680 ईसा पूर्व से 320 वर्ष बाद कौन-सा वर्ष होगा? ……………………….
हल:
(a) वर्तमान वर्ष (2024) से 150 वर्ष पूर्व
(2024 – 150 = 1874)
तो, 150 वर्ष पहले, वर्ष 1874 था।

(b) वर्तमान वर्ष (2024) से 2200 वर्ष पूर्व- चूँकि कोई वर्ष 0 नहीं था, इसलिए हमें अपनी गणना में इसका हिसाब रखना होगा-
(2024 – 2200 = -176)
177 ईसा पूर्व (आम युग से पहले) वर्ष – 176 से मेल खाता है।
इसलिए, 2200 साल पहले, यह वर्ष 177 ईसा पूर्व था।

(c) चूँकि ईसा पूर्व ईसा से पहले का वर्ष है, इसलिए 680 ईसा पूर्व = -680
अतः 680 ईसा पूर्व के 320 वर्ष बाद = -680 + 320 = -360 = 360 ईसा पूर्व।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित अनुक्रम को पूरा कीजिए –
(a) (-40), (-34), (-28), (-22), ________, ________, ________,
(b) 3, 4, 2, 5, 1, 6, 0, 7, ________, ________, ________,
(c) ________, ________, 12, 6, 1, (-3), (-6), ________, ________, ________,
हल:
(a) (-40), (-34), (-28), (-22), ________, ________, ________,
आइए अनुक्रम की अंतिम संख्या को उसके पहले वाली संख्या से घटाएँ।
∵ (- 22) – (-28) = – 22 + 28 = 6
(- 28) – (- 34) = – 28 + 34 = 6
– (34) – (- 40) = – 34 + 40 = 6
अतः यह एक अनुक्रम है जहाँ प्रत्येक संख्या 6 से बढ़ता है।
∴ अगली संख्या = – 22 + 6 = -16
∴ अगली संख्या = – 16 + 6 = – 10
∴ अंतिम संख्या = – 10 + 6 = -4
अतः, अनुक्रम (-40), (-34) (-28), (-22), (-16), (-10), (-4) है।

(a) आइए अनुक्रम की अंतिम संख्या को उसके पहले की संख्या से घटाएँ।
7 – 0 = 7
0 – 6 = -6
6 – 1 = 5
1 – 5 = -4
5 – 2 = 3
2 – 4 = -2
4 – 3 = 1
अतः इस अनुक्रम में, संख्याएँ वैकल्पिक धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांकों के साथ 1 से घट रही हैं। अतः अगली संख्या
7 + (- 8) = -1
– 1 + 9 = 8
8 – 10 = -2
– 2 + 11 = 9
और इसी तरह।
अतः पूर्ण अनुक्रम 3, 4, 2, 5, 1, 6, 0, 7, −1, 8, -2, 9, …………….. है।
आइए जाँच करें
– 1 – 7 = -8
8 + 1 = 9
– 2 – 8 = -10

(c) ________, ________, 12, 6, 1, (-3), (-6), ________, ________, ________
आइए अनुक्रम की अंतिम संख्या को पिछली संख्या से घटाएँ
(- 6) – ( – 3) = – 6 + 3 = -3
(- 3) – (1) = – 3 – 1 = – 4
1 – 6 = -5
6 – 12 = -6
अतः इस अनुक्रम में, प्रत्येक संख्या में 1 ऋणात्मक पूर्णांक जोड़ा जाता है।
माना अनुक्रम की पहली संख्या x और दूसरी संख्या y है।
दूसरी संख्या = 12 – y = -7
अत: y = 12 + 7 = 19
पहली संख्या, इसे x माना
दूसरी संख्या 19 – x = -8
⇒ x = 19 + 8 = 27
अब आइए 8वीं संख्या ज्ञात करें, इसे a मानें।
अतः a – (- 6) = -2
⇒ a = – 2 – 6 = -8
अब आइए 9वीं संख्या ज्ञात करें, इसे 6 मानें।
अतः b – (-8) = -1
⇒ b = – 1 – 8 = -9
अत: अनुक्रम 27, 19, 12, 6, 1, (-3) (-6), (-8), (-9), (-9) है।

प्रश्न 7.
यहाँ छह पूर्णांक कार्ड हैं (+1), (+7), (+18), (-5), (-2), (-9) आप इनमें से किसी भी कार्ड का चयन कर सकते हैं तथा जोड़ और घटा के उपयोग द्वारा एक पद बनाइए।
यहाँ एक पद है- (+ 18) + (+1) – (+7) – (- 2) जिसका मान (+14) है। दिए गए काईस से एक से अधिक कार्ड का चयन कीजिए और एक पद बनाइए जिसका मान (-30) के आस-पास हो।
हल:
आइए दिए गए कार्ड का उपयोग करके एक ऐसा व्यंजक बनाने का प्रयास करें जो (-30) के जितना संभव हो सके उतना करीब हो (+1, +7, +18, -5 -2, -9)
एक संभावित व्यंजक है (- 9) + (- 5) + (- 2) + (- 18) + (+ 1)
आइए चरण दर चरण मान की गणना करें-
1. (- 9) + (- 5) = -14
2. 14 + (- 2) = -16
3. 16 + (- 18) = -34
4. 34 + (+ 1) = -33
अतः इस व्यंजक का मान (-33) है, जो (-30) के काफी करीब है।

प्रश्न 8.
दो धनात्मक पूर्णांकों का योग सदैव धनात्मक होता है लेकिन एक (धनात्मक पूर्णांक) – (धनात्मक पूर्णांक)
धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। आप निम्न के विषय में क्या कह सकते हैं-
(a) (धनात्मक) – (ऋणात्मक)
(b) (धनात्मक) + (ऋणात्मक)
(c) (ऋणात्मक) + (ऋणात्मक)
(d) (ऋणात्मक) – (ऋणात्मक)
(e) (ऋणात्मक) – (धनात्मक)
(f) (ऋणात्मक) + (धनात्मक)
हल:
(a) (धनात्मक) – (ऋणात्मक)
ऋणात्मक संख्या घटना उसके धनात्मक प्रतिरूप को जोड़ने के समान है। इसलिए, यह हमेशा धनात्मक होगा।
उदाहरण के लिए, 5 – (- 3) = 5 + 3 = 8

(b) (धनात्मक) + (ऋणात्मक)
यह संख्याओं के परिमाण पर निर्भर करता है। यदि धनात्मक संख्या बड़ी है, तो परिणाम धनात्मक
होगा; यदि ऋणात्मक संख्या बड़ी है, तो परिणाम ऋणात्मक होगा।
उदाहरण के लिए,
7 + (-4) = 3 (धनात्मक)
4 + (-7) = 3 (ऋणात्मक)

(c) (ऋणात्मक) + (ऋणात्मक)
दो ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने पर हमेशा एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है।
उदाहरण के लिए, − 2 + (− 3) = -5

(d) (ऋणात्मक) – (ऋणात्मक)
यह दूसरी संख्या के धनात्मक प्रतिरूप को पहली ऋणात्मक संख्या में जोड़ने जैसा है।
यदि पहली ऋणात्मक संख्या परिमाण में बड़ी है, तो परिणाम ऋणात्मक होगा।
हालाँकि, यदि पहली ऋणात्मक संख्या दूसरी ऋणात्मक संख्या से छोटी है, तो यह धनात्मक होगी।
उदाहरण के लिए,
– 4 (- 7) = 3 (धनात्मक)
– 7 – (- 4) = -3 (ऋणात्मक)

(e) (ऋणात्मक) – (धनात्मक)
यह हमेशा ऋणात्मक होगा क्योंकि आप एक ऋणात्मक संख्या से एक धनात्मक संख्या घटा रहे हैं।
उदाहरण के लिए – 4 – 2 = -6

(d) (ऋणात्मक) + (धनात्मक)
(धनात्मक) + (ऋणात्मक) के समान, यह परिमाण पर निर्भर करता है यदि धनात्मक संख्या बड़ी है, तो परिणाम धनात्मक हैं; यदि ऋणात्मक
संख्या बड़ी है, तो परिणाम ऋणात्मक है।
उदाहरण के लिए,
– 3 + 5 = 2 (धनात्मक)
– 5 + 3 = 2 (ऋणात्मक)

प्रश्न 9.
इस लड़ी में 100 टोकन हैं, जो एक विशेष पैटर्न में व्यवस्थित किए गए हैं. इस लड़ी का मान क्या है?

हल:
आइये, लड़ी के अनुक्रम का विश्लेषन करें
-3, -2, 3, -2, 3, -2

आइए 5 टोकन का एक पैटर्न लें क्योंकि यह दोहराया जा रहा है, कुल 3 – 2 = 1 है
लड़ी में 100 टोकन हैं।
कुल पैटर्न = \(\frac{100}{20}\) = 20 पैटर्न
अतः 1 पैटर्न का योग = 1
अतः, लड़ी का मान = 1 × 20 = 20

आइए, पता लगाएँ – 2 (पृष्ठ 268)

प्रश्न 1.
क्या आप ब्रह्मगुप्त के नियमों को बेला की मजेदार इमारत या संख्या रेखा के अनुसार स्पष्ट कर सकते हो?
हल:
आइए बेला की मजेदार इमारत और संख्या रेखा की अवधारणा का उपयोग करके, ब्रह्मगुप्त के नियमों को समझे। ब्रह्मगुप्त के नियम मुख्य रूप से धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं से जुड़े संचालन से संबंधित हैं। यहाँ हम उन्हें कैसे समझ सकते हैं-
ब्रह्मगुप्त के नियम-
1. धनात्मक संख्याओं का योग

• नियम – दो धनात्मक संख्याओं को जोड़ने पर एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है।
• बेला की इमारत – यदि बेला तीसरे तल से शुरू करती है और दो तल ऊपर जाती है, तो वह पांचवे तल पर पहुँच जाती है।
• संख्या रेखा – संख्या रेखा पर 2 जोड़कर 3 से 5 तक जाना।
  उदाहरण- 3 + 2 = 5

2. ऋणात्मक संख्याओं का योग

• नियम – दो ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने पर एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है।
• बेला की इमारत – यदि बेला भूतल से 3 तल नीचे (-3) से शुरू करती है और 2 तल और नीचे जाती है, तो वह भूतल से 5 तल नीचे (−5) पहुँच जाती है।
• संख्या रेखा – 2 जोड़कर – 3 से – 5 तक जाना।
• उदाहरण – – 3 + (−2) = -5

3. एक धनात्मक और एक ऋणात्मक संख्या का योग

• नियम – बड़े निरपेक्ष मान से छोटे निरपेक्ष मान को घटाएँ और बड़े निरपेक्ष मान का चिह्न रखें।
• बेला की इमारत – यदि बेला तीसरे तल से शुरू करती है और 5 तल नीचे जाती है, तो वह भूतल से 2 तल नीचे (−2) पहुँच जाती है।
• संख्या रेखा – 5 जोड़कर 3 से -2 तक जाना।
  उदाहरण – 3 + (-5) = −2

4. एक ऋणात्मक संख्या से एक धनात्मक संख्या का घटाव-

• नियम – एक ऋणात्मक संख्या से एक धनात्मक घटाना दो संख्याओं को जोड़ने और ऋणात्मक चिह्न को रखने के समान है।
• बेला की इमारत-यदि बेला भूतल से 3 तल नीचे है (-3) और 2 तल और नीचे चली जाती है, तो वह भूतल से 5 तल नीचे पहुँच जाती है (-5)।
• संख्या रेखा – 2 घटाकर 3 से 5 तक जाना।
  उदाहरण- – 3 – 2 = −5

5. एक धनात्मक संख्या से एक ऋणात्मक संख्या का घटाव

• नियम- एक धनात्मक संख्या से एक ऋणात्मक संख्या घटाना दो संख्याओं को जोड़ने जैसा है।
• बेला की इमारत यदि बेला तीसरे तल से शुरू करती है और दो तल ऊपर जाती है, तो वह पांचवे तल पर पहुँच जाती है।
• संख्या रेखा – -2 घटाकर 3 से 5 तक जाना।
• उदाहरण – 3 – (-2) = 5

6. एक ऋणात्मक संख्या से एक ऋणात्मक संख्या का घटाव :

• नियम – एक ऋणात्मक संख्या को को दूसरी ऋणात्मक संख्या से घटाना, निरपेक्ष मानों को जोड़ने और ऋणात्मक चिह्न को रखने के समान है।
• बेला की इमारत-यदि बेला भूतल से 3 तल नीचे है (-3) और 2 तल ऊपर जाती है, तो वह भूतल से 1 तल नीचे (- 1) पहुँच जाती है।
• संख्या रेखा -2 घटाकर 3 से 1 तक जाना।
• उदाहरण- – 3 – 2 (− 2) = -1

प्रश्न 2.
प्रत्येक नियम के लिए स्वयं के उदाहरण दीजिए।
हल: 1.
धनात्मक संख्याओं का योग

• उदाहरण – 7 + 4 = 11
• बेला की इमारत – 7वें तल से शुरू होकर 4 तल ऊपर 11वें तल तक जाएगी।

2. ऋणात्मक संख्याओं का योग

• उदाहरण- −6 + (−3) = -9
• बेला की इमारत – भूतल से 6 तल नीचे से शुरू होकर 3 तल नीचे 9वें तल तक जाती है।

3. एक धनात्मक और एक ऋणात्मक संख्या का योग:
उदाहरण: 8 + (−5) = 3
बेला की इमारत – 8वें तल से शुरू होकर 5 तल नीचे तीसरे तल तक जाएगी।

4. एक ऋणात्मक संख्या से एक धनात्मक संख्या का घटाव
उदाहरण- -4 −3 = −7
बेला की इमारत – भूतल से 4 तल नीचे से शुरू होकर 3 तल नीचे जमीन से 7वें तल नीचे तक जाती है।

5. एक धनात्मक संख्या से एक ऋणात्मक संख्या का घटाव :

• उदाहरण- 5 – (- 2) = 7
• बेला की इमारत – 5वें तल से शुरू होकर 2 तल ऊपर 7वें तल तक जाएगी।

6. एक ऋणात्मक संख्या से एक ऋणात्मक संख्या का घटाव:

• उदाहरण- -5 – (- 3) = -2
• बेला की इमारत – जमीन से 5 तल नीचे सँ शुरू होकर 3 तल ऊपर भूतल से 2 तल नीचे तक जाती है।