Experts have designed these Ganita Prakash Class 6 Notes and Class 6th Maths Chapter 5 Notes in Hindi अभाज्य समय for effective learning.
Prime Time Class 6 Notes in Hindi Medium
अभाज्य समय कक्षा 6 नोट्स
कक्षा 6 गणित अध्याय 5 नोट्स अभाज्य समय
→ 5.1 सार्व गुणज और सार्व गुणनखंड
गुणज
गुणज एक संख्या को पूर्णांक ( यह भिन्न नहीं होना चाहिए) से गुणा करने पर प्राप्त परिणाम है। पूर्ण संख्या के गुणज, गणन संख्याओं और पूर्ण संख्याओं के गुणनफल से प्राप्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, 6 के गुणजों को निकालने के लिए, हम 6 को 1 से, 6 को 2 से, 6 को 3 से और इसी तरह आगे भी गुणा करते हैं। गुणज इस गुणन का गुणनफल है।
किसी संख्या के अनंत गुणज हो सकते हैं क्योंकि किसी संख्या के गुणज उसे प्राकृतिक संख्याओं से गुणा करके प्राप्त किए जाते हैं। इस प्रकार, हम किसी दी गई संख्या के अनंत गुणज लिख सकते हैं।
सर्व गुणज
दो संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणजों को उन संख्याओं का सार्व गुणज कहते हैं। आइए इसे एक उदाहरण की मदद से समझते हैं। माना दो संख्याएँ 30 और 45 हैं। 30 और 45 के गुणज हैं
30 = 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, …
45 = 45, 90, 135, 180, 225, 270, …
हम्र देखते हैं कि 90 और 270, 30 और 45 के प्रथम दो सार्व गुणज हैं।
गुणनखंड
गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जो किसी संख्या को पूर्णत: विभाजित कर सकती हैं। अतः विभाजन के बाद कुछ शेष नहीं बचता। गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जिन्हें आपस में गुणा करके अन्य संख्या प्राप्त की जा सकती है। इस प्रकार, गुणनखंड दूसरी संख्या का भाजक
होता है।
गुणनखंड
1 के गुणनखंड = 1
2 के गुणनखंड = 1, 2 (∵ 1 × 2 = 2)
3 के गुणनखंड = 1, 3 (∵ 1 × 3 = 3)
4 के गुणनखंड = 1, 2, 4 (∵ 2 × 2 = 4)
5 के गुणनखंड = 1, 5 (∵ 1 × 5 = 5)
6 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 6 (∵ 2 × 3 = 6)
7 के गुणनखंड = 1,7
8 के गुणनखंड = 1, 2, 4, 8 (∵ 2 × 4 = 8)
9 के गुणनखंड = 1, 3, 9 (∵ 3 × 3 = 9)
10 के गुणनखंड = 1, 2, 5, 10 (∵ 2 × 5 = 10)
वे सभी संख्याएँ जिनके द्वारा वह पूर्ण संख्या विभाज्य है उन्हें उस संख्या के गुणनखंड कहते हैं। आइए 24 के भाजक ज्ञात करते
1 × 24 = 24
2 × 12 = 24
3 × 8 = 24
4 × 6 = 24
5 × _ = 24 – इसलिए 5 गुणनखंड नहीं है।
6 × 4 = 24
7 × _ = 24 – इसलिए 7 गुणनखंड नहीं है।
8 × 3 = 24
9 × _ = 24 – इसलिए 9 गुणनखंड नहीं है।
10 × _ = 24 – इसलिए 10 गुणनखंड नहीं है।
11 × _ = 24 – इसलिए 11 गुणनखंड नहीं है।
12 × 2 = 24
24 × 1 = 24
अत: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 24 के गुणनखंड हैं और 5, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 के गुणनखंड नहीं हैं क्योंकि वे 2 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है।
ध्यान दें कि किसी संख्या के गुणनखंडों का अध्ययन करते समय, हम केवल धनात्मक पूर्णांकों पर विचार करते हैं। गुणनखंड भिन्न या दशमलव नहीं हो सकता। साथ ही, चूँकि 0 से भाग अपरिभाषित है, इसलिए 0 किसी भी संख्या का गुणनखंड नहीं हो सकता।
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)
दो संख्याओं का LCM ( लघुत्तम समापवर्त्य ) वह सबसे छोटा गुणज होता है जो दी गई दोनों संख्याओं से विभाज्य होता है। माना दो संख्याएँ 8 और 12 हैं, जिनका LCM हमें ज्ञात करना है। आइए इन दो संख्याओं के गुणज लिखते हैं।
8 = 16, 24, 32, 40, 48, 56, … 12 = 24, 36, 48, 60, 72, 84,…
यहाँ हम देखते हैं, कि संख्याओं 8 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य या सबसे छोटा समापवर्त्य 24 है। अतः 8 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य 24 है।
सार्व (उभयनिष्ठ) गुणनखंड
दो या दो से अधिक संख्याओं में उभयनिष्ठ गुणनखंडों को उनके सार्व गुणनखंड कहते हैं । तब हम सार्व गुणनखंड कैसे ज्ञात करेंगे? दो सख्याएँ A और B पर विचार करें । A और B के सभी गुणनखंडों को अलग-अलग लिखें और उन संख्याओं को देखें जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ हैं। आइए एक उदाहरण की मदद से सार्व गुणनखंडों की अवधारणा को समझते हैं।
दो संख्याएँ 30 और 45 पर विचार करें।
∴ 30 और 45 के गुणनखंड है
30 = {1, 2, 3, 5, 10, 15, और 30}
45 = {1, 3, 5, 9, 15, 45}
∴ 30 और 45 के उभयनिष्ठ गुणनखंड 1, 3, 5 और 15 है।
→ 5.2 अभाज्य संख्याएँ
अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनके केवल दो गुणनखंड होते हैं। 1 और स्वयं वह संख्या । दूसरे शब्दों में, वह संख्या जो केवल स्वयं और 1 से विभाज्य होती है, वह अभाज्य संख्या होती है। इसलिए, अभाज्य संख्या के केवल दो अलग-अलग गुणनखंड होते हैं। 1 और स्वयं वह संख्या । उदाहरण के लिए, संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 आदि के केवल दो गुणनखंड होते हैं यानी 1 और स्वयं वह संख्या।
यदि दो अभाज्य संख्याओं के बीच का अंतर 2 है तो उन्हें अभाज्य युग्म संख्याएँ (Twin Primes) कहते हैं। उदाहरण के लिए (3, 5), (5, 7) और (11, 13) अभाज्य युग्मों के समुच्चय हैं।
भाज्य संख्याएँ- वे संख्याएँ होती हैं जिनके दो से अधिक गुणनखंड होते हैं। दूसरे शब्दों में वह संख्या जिसके दो से अधिक . भिन्न गुणनखंड हों, भाज्य संख्या होती है। इसलिए भाज्य संख्या 1 और स्वयं के अलावा अन्य संख्याओं से भी पूर्णतः विभाज्य होती है। उदाहरण के लिए, 4 एक भाज्य संख्या है और इसे 1, 2 और 4 से विभाजित किया जा सकता है। 6 एक भाज्य संख्या है और इसे 1, 2, 3 और 6 से विभाजित किया जा सकता है। इसलिए वह संख्या जो अभाज्य संख्या नहीं है, भाज्य संख्या होती है।
→ 5.3 खजानों को सुरक्षित रखने के लिए सह – अभाज्य संख्याएँ (Co-prime Numbers)
यदि दो संख्याओं का सार्व गुणनखंड केवल 1 हैं, तो उन्हें सह – अभाज्य या सह – अभाज्य संख्याएँ कहा जाता है। उदाहरण के लिए, (2, 3), (4, 5), (3, 7) और (4, 9) सह अभाज्य संख्याएँ हैं।
याद रखें
- दो अभाज्य संख्याएँ सदैव सह – अभाज्य होती हैं।
- दो सह – अभाज्य संख्याएँ दोनों अभाज्य संख्याएँ हो भी सकती हैं और नहीं भी, उदाहरण के लिए 4 और 9।
→ 5.4 अभाज्य गुणनखंडन
अभाज्य गुणनखंडन को किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों को ज्ञात करने के तरीके के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिससे मूल संख्या इन गुणनखंडों से समान रूप से विभाज्य हो जाती है।
किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने कीं सबसे सरल विधि यह है कि मूल संख्या को अभाज्य गुणनखंडों से तब तक विभाजित करते रहें जब तक शेषफल 1 न प्राप्त हो जाए ।
उदाहरण के लिए, संख्या 30 का अभाज्य गुणनखंड करने पर \(\frac{30}{2}\) = 15, \(\frac{15}{3}\) = 5, \(\frac{5}{5}\) = 1। चूँकि हमें शेषफल प्राप्त हो गया है, इसलिए इसे और अधिक गुणनखंडित नहीं किया जा सकता। इसलिए, 30 = 2 × 3 × 5 अभाज्य गुणनखंड हैं। इसलिए पहले संख्या को 2 से, फिर 3, 4, … से बढ़ते क्रम में विभाजित करें। यदि यह अगली संख्या से विभाज्य नहीं है, तो अगली संख्या पर जाएँ जब तक कि हमें 1 न मिल जाए।
उदाहरण के लिए
आइए 15 का गुणनखंड करते हैं
अतः 15 के गुणनखंड = 5 × 3
अन्य उदाहरण 16
अतः 16 के गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 2
उदाहरण के लिए
- 12 के अभाज्य गुणनखंडन 2 × 2 × 3 है
- 18 के अभाज्य गुणनखंडन 2 x 3 x 3 है
- 24 के अभाज्य गुणनखंडन 2 × 2 × 2 × 3 है
- 20 के अभाज्य गुणनखंडन 2 × 2 × 5 है
- 36 के अभाज्य गुणनखंडन 2 × 2 × 3 × 3 है।
→ 5.5 संख्याओं की विभाज्यता की जाँच
विभाज्यता नियम हमें यह जानने में सक्षम बनाता है कि कोई विशेष संख्या किसी भाजक से विभाज्य है या नहीं, इसके लिए हमें संपूर्ण विभाजन संक्रिया करने की बजाय केवल उसके अंकों को देखना होगा।
| विभाज्यता | जाँच |
| 2 | संख्या में अंतिम अंक सम है (2, 4, 6, 8 या (0) |
| 3 | सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य है |
| 4 | अंतिम 2 अंक, 4 से विभाज्य है। |
| 5 | संख्या 0 या 5 पर समाप्त होती है (जैसे – 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40…) |
| 6 | संख्या 2 और 3 से विभाज्य है। |
| 8 | अंतिम 3 अंक 8 से विभाज्य है
नोट- यहं नियम 1000 से छोटी संख्या पर नहीं लगता |
| 9 | अंकों का योग 9 से विभाज्य है |
| 10 | संख्या 0 पर समाप्त होती है (जैसे – 10, 20, 30, 40, 50, 60, …. 100) |