Students often refer to Ganita Prakash Class 6 Solutions and Class 6 Maths Chapter 3 Solutions in Hindi Medium संख्याओं का खेल to verify their answers.
Ganita Prakash Class 6 Maths Chapter 3 Solutions in Hindi Medium
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 57 – 58)
प्रश्न 1.
नीचे दी गई सारणी में महाकोष्ठ को रंगीन या चिह्नित कीजिए।
हल:
प्रश्न 2.
नीचे दी गई सारणी कों चार अंकों वाली संख्याओं से इस प्रकार भरिए कि प्रत्येक रंगीन कोष्ठ ही महाकोष्ठ हो।
हल:
प्रश्न 3.
नीचे दी गई सारणी को इस प्रकार भरिए कि हमें अधिक से अधिक महाकोष्ठ प्राप्त हों। बिना दोहराए 100 से 1000 के बीच की संख्याओं का उपयोग कीजिए।
हल:
प्रश्न 4.
उपरोक्त सारणी में 9 संख्याओं में से कितने महाकोष्ठ हैं?
हल:
ऊपर दी गई सारणी में, 9 संख्याओं में से 5 महाकोष्ठ हैं।
प्रश्न 5.
भिन्न संख्याओं के कोष्ठों में कितने महाकोष्ठ संभव हैं? क्या आपको इनमें कोई पैटर्न दिखाई देता है? दी गई सारणी को भरने का वह कौन-सा तरीका होगा जिससे हमें अधिक से अधिक महाकोष्ठ प्राप्त हों? ढूँढ़िए और अपनी योजना का साझा कीजिए।
हल:
यदि n विषम कोष्ठ हैं तो महाकोष्ठ की संख्या = \(\frac{n+1}{2}\)
यदि n सम कोष्ठ हैं तो महाकोष्ठ की संख्या = \(\frac{n}{2}\)
हाँ, एक पैटर्न है। प्रत्येक दूसरा कोष्ठ महाकोष्ठ हो सकता हैं।
दी गई सारणी को भरने का तरीका जिससे अधिकतम महाकोष्ठ मिल सके
- पहले कोष्ठ को महाकोष्ठ बनाएँ। इसके बाद हर दूसरे कोष्ठ को महाकोष्ठ बनाना है।
- कोई भी क्रमागत कोष्ठ महाकोष्ठ नहीं हो सकता सिवाय 4 कोष्ठ के मामले में क्योंकि तब पहला और चौथा कोष्ठ महाकोष्ठ हो सकते हैं।
प्रश्न 6.
क्या आप संख्याओं को बिना दोहराए एक रिक्त महाकोष्ठ सारणी को इस प्रकार भर सकते हैं कि उसमें कोई महाकोष्ठ न हो? क्यों या क्यों नहीं?
हल:
नहीं, बिना संख्याओं को दोहराए एक महाकोष्ठ सारणी भरना संभव नहीं है ताकि उसमें कोई महाकोष्ठ न हो।
यहाँ दो स्थितियाँ हैं-
स्थिति I: यदि हम कोष्ठ को घटते क्रम में भरते हैं तो पहला कोष्ठ महाकोष्ठ होगा।
स्थिति II: यदि हम कोष्ठ को बढ़ते क्रम में भरते हैं तो अंतिम कोष्ठ महाकोष्ठ होगा।
अगर हम किसी क्रम का पालन नहीं करते हैं, तो निश्चित रूप से कम से कम एक महाकोष्ठ होगा।
प्रश्न 7.
क्या एक सारणी में सबसे बड़ी संख्या वाला कोष्ठ, हमेशा महाकोष्ठ होगा? क्या एक सारणी में सबसे छोटी संख्या वाला कोष्ठ एक महाकोष्ठ हो सकता है? क्यों या क्यों नहीं?
हल:
हाँ, सारणी में सबसे बड़ी संख्या वाला कोष्ठ हमेशा एक महाकोष्ठ होगा क्योंकि यदि यह कोने का कोष्ठ है, तो इसके पास की संख्या (अर्थात् या तो दूसरा कोष्ठ या दूसरा आखिरी कोष्ठ) इससे छोटी होगी। यदि यह बीच में है, तो दोनों आसन्न संख्याएँ इससे छोटी होंगी।
नहीं, सारणी में सबसे छोटी संख्या वाला कोष्ठ महाकोष्ठ नहीं हो सकता क्योंकि इसके आसन्न में जो संख्या होगी वह हमेशा इससे बड़ी होगी।
प्रश्न 8.
एक सारणी को इस प्रकार से भरिए कि दूसरी सबसे बड़ी संख्या वाला कोष्ठ, महाकोष्ठ न हो।
हल:
यहाँ 980 दूसरी सबसे बड़ी संख्या है लेकिन यह महाकोष्ठ नहीं है क्योंकि 999 महाकोष्ठ है।
प्रश्न 9.
एक सारणी को इस प्रकार से भरिए कि दूसरी सबसे बड़ी संख्या वाला कोष्ठ, महाकोष्ठ न हो, लेकिन दूसरी सबसे छोटी संख्या वाला कोष्ठ एक महाकोष्ठ हो? क्या यह संभव है?
हल:
यहाँ 1870 दूसरी सबसे बड़ी संख्या है लेकिन 1870 वाला कोष्ठ महाकोष्ठ नहीं है क्योंकि इसके बगल में उपस्थित संख्या 1895 इससे बड़ी है।
489 दूसरी सबसे छोटी संख्या है लेकिन 489 वाला कोष्ठ एक महाकोष्ठ है क्योंकि पड़ोसी संख्या 475 उससे छोटी है।
प्रश्न 10.
इस पहेली के अन्य रूप बनाइए और अपने सहपाठियों को चुनौती दीजिए।
हल:
• एक सारणी को इस प्रकार भरिए जिसमें केवल सम संख्याएँ महाकोष्ठ हों।
• एक सारणी को इस प्रकार भरिए जिसमें सभी महाकोष्ठ 5 से विभाज्य हों।
आइए, इस महाकोष्ठ वाले क्रियाकलाप को और अधिक पंक्तियों के साथ करते हैं।
दी गई सारणियों में समीपवर्ती कोष्ठ वे हैं, जो एकदम बाएँ, दाएँ, ऊपर और नीचे हैं।
नियम वही रहेंगे – एक कोष्ठ महाकोष्ठ होगा, यदि उसमें अंकित संख्या उसके समीपवर्ती
कोष्ठों में अंकित संख्या से बड़ी हो । सारणी 1 में संख्या 8632 उसकी सभी समीपवर्ती संख्याओं 4580, 8280, 4795, 1944 से बड़ी है।
(पृष्ठ 58)
‘1′, ‘0’, ‘6’, ‘3’, और ‘9’ अंकों का किसी भी क्रम में प्रयोग करके पाँच अंकों की संख्याएँ बनाइए और सारणी 2 को पूरा कीजिए। केवल रंगीन कोष्ठ में समीपवर्ती कोष्ठों की संख्याओं से बड़ी होनी चाहिए।
सारणी में सबसे बड़ी संख्या ______________ है।
सारणी में सबसे छोटी सम संख्या ______________ है।
सारणी में 50,000 से बड़ी, सबसे छोटी संख्या ______________ है।
दी गई सारणी को पूरा भरकर, हजार के अंक के बाद उपयुक्त स्थान पर अल्प-विराम (,) लगाइए।
हल:
| 96,310 | 96,301 | 36,109 | 63,109 |
| 10,369 | 13,609 | 60,319 | 19,306 |
| 10,936 | 36,910 | 60,193 | 39,106 |
| 10,369 | 10,963 | 10,639 | 39,610 |
सारणी में सबसे बड़ी संख्या 96, 310 है।
सारणी में सबसे छोटी सम संख्या 10, 936 है।
सारणी में 50,000 से बड़ी, सबसे छोटी संख्या 60, 193 है।
पृष्ठ 59
प्रश्न 1.
संख्याओं को संख्या रेखा पर उनके उपयुक्त स्थानों पर रखें। यहाँ संख्याएं 2180, 2754, 1500, 3600, 9950, 9590, 1050, 3050, 5030, 5300 और 8400 हैं।
हल:
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 59)
प्रश्न 1.
नीचे दी गई संख्या रेखा पर चिह्नित संख्या को पहचानकर, नीचे दिए गए संख्या अनुक्रमों को पूरा कीजिए।
उपरोक्त अनुक्रमों में सबसे छोटी संख्या पर गोला लगाइए तथा सबसे बड़ी संख्या पर बॉक्स बनाइए ।
हल:
(पृष्ठ 60)
प्रश्न 1.
2 अंक, 3 अंक, 4 अंक और 5 अंकों वाली कुल कितनी संख्याएँ होगी ज्ञात कीजिए।
हल:
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 60)
प्रश्न 1.
अंकों का योग 14
(a) अन्य संख्याएँ लिखिए जिनके अंकों का योगफल 14 है।
(b) वह सबसे छोटी संख्या कौन-सी है, जिसके अंकों का योगफल 14 है?
(c) 5 अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है, जिसके अंकों का योगफल 14 है?
(d) वह बड़ी से बड़ी कौन-सी संख्या बनाई जा सकती है, जिसके अंकों का योगफल 14 है? क्या आप इससे भी बड़ी संख्या बना सकते हैं?
हल:
(a) कुछ संख्याएँ जिनके अंकों का योगफल 14 है
59, 68, 77, 86, 95, 149, 158, 167, 176, 185, 194, 239, 248, 257, 266, 275, 281, 293 है।
(b) सबसे छोटी संख्या जिसके अंकों का योगफल 14 है वह 59 है।
(c) 5 अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या (0 सहित) जिसके अंकों का योग 14 है = 95,000
5 अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या (0 को छोड़कर) जिसके अंकों का योग 14 है – 92,111
(d) अंकों का योगफल 14 वाली एक बहुत बड़ी संख्या बनाई जा सकती है, जैसे – 950000000000
हाँ, हम इससे भी बड़ी संख्या बना सकते हैं, जैसे – 9500000000000000000000
प्रश्न 2.
40 से 70 तक की सभी संख्याओं के अंकों का योगफल ज्ञात कीजिए। अपने अवलोकन को कक्षा के साथ साझा कीजिए।
हल:
| संख्या | अंकों का योगफल |
| 40 | 4 |
| 41 | 5 |
| 42 | 6 |
| 43 | 7 |
| 44 | 8 |
| 45 | 9 |
| 46 | 10 |
| 47 | 11 |
| 48 | 12 |
| 49 | 13 |
| 50 | 5 |
| 51 | 6 |
| 52 | 7 |
| 53 | 8 |
| 54 | 9 |
| 55 | 10 |
| 56 | 11 |
| 57 | 12 |
| 58 | 13 |
| 59 | 14 |
| 60 | 06 |
| 61 | 7 |
| 62 | 8 |
| 63 | 9 |
| 64 | 10 |
| 65 | 11 |
| 66 | 12 |
| 67 | 13 |
| 68 | 14 |
| 69 | 15 |
| 70 | 7 |
प्रश्न 3.
3 अंकों की उन संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए, जिनके अंक क्रमागत (जैसे – 345 ) हों। क्या आप उनमें एक पैटर्न देखते हैं? क्या यह पैटर्न जारी रहेगा?
हल:
यदि हम संख्याओं को विपरीत क्रम में लें तब भी अंकों का योगफल वही रहेगा।
हाँ, यहाँ हम एक पैटर्न देखते हैं।
अर्थात् (पहली संख्या + 1) × 3 = अंकों का योगफल
(पृष्ठ 61)
प्रश्न 1.
1 – 100 तक की संख्याओं में, अंक 7′ कितनी बार आएगा?
हल:
हमें 7 की कुल संख्या 20 मिलती है।
प्रश्न 2.
1- 1000 तक की संख्याओं में, अंक ‘7’ कितनी बार आएगा?
हलः
1 से 1000 तक की संख्याओं को सूचीबद्ध करते समय 7 को 300 बार लिखा जाएगा।
प्रश्न 3.
संख्याएँ 1, 2, 3 अंकों का प्रयोग करके बनने वाली सभी तीन अंकों की पैलिंड्रोमिक संख्याएँ लिखिए।
हल:
• 111 • 121 • 131 • 212 • 222 • 232 • 313 • 323 • 333
(पृष्ठ 62)
प्रश्न 1.
2 अंकों की संख्या से शुरू करके, क्या संख्या और उसके अंकों को पलटने से प्राप्त संख्या ( प्रतिलोम ) का पुनः योग करके हमेशा पैलिंड्रोम ही प्राप्त होता है? खोजिए और ज्ञात कीजिए।
हल:
बार-बार पलटने और जोड़ने के बाद सभी दो अंकों वाली संख्याएँ अंततः पैलिंड्रोम बन जाती है। 10,000 से कम की सभी संख्याओं में से लगभग 80% चार या उससे कम चरणों में पैलिंड्रोम में बदल जाती हैं; उनमें से लगभग 90% सात या उससे कम चरणों में हल हो जाती हैं।
पहेली (पृष्ठ 62)
प्रश्न 1.
मैं 5 अंकों का एक पैलिंड्रोम हूँ।
मैं एक विषम संख्या हूँ।
मेरा दहाई का अंक, इकाई के अंक से दो गुना है।
मेरा सैकड़े का अंक, दहाई के अंक से दो गुना है।
मैं कौन हूँ?……..
हल:
12421
(पृष्ठ 63)
प्रश्न 1.
इन्हीं चरणों को कुछ 3 अंकों वाली संख्याओं के साथ दोहराइए। कौन-सी संख्या दोहराना शुरू होगी?
हल:
हम इसे दो उदाहरणों की मदद से करेंगे-
1. संख्या 123 लेते हैं
• प्रारंभिक संख्या – 123
• अवरोही क्रम – 321
• आरोही क्रम – 123
• घटाएँ – 321 – 123 = 198
दोहराएँ-
• 198 का अवरोही क्रम – 981
• 198 का आरोही क्रम – 189
• घटाएँ – 981 – 189 = 792
दोहराएँ-
• 792 का अवरोही क्रम – 972
• 792 का आरोही क्रम – 279
• घटाएँ – 972 – 279 = 693
दोहराएँ-
• 693 का अवरोही क्रम – 963
• 693 का आरोही क्रम – 369
• घटाएँ – 963-369 = 594
दोहराएँ-
• 594 का अवरोही क्रम – 954
• 594 का आरोही क्रम – 459
• घटाएँ – 954-459 = 495
दोहराएँ-
• 495 का अवरोही क्रम – 954
• 495 का आरोही क्रम – 459
• घटाएँ- 954 – 459 = 495
• परिणामः संख्या 495 दोहराना शुरू होती है।
2. अब संख्या 317 लेते हैं
• प्रारंभिक संख्या – 317
• अवरोही क्रम – 731
• आरोही क्रम – 137
• घटाएँ- 731 – 137 = 594
दोहराएँ-
• 594 का अवरोही क्रम – 954
• 594 का आरोही क्रम – 459
• घटाएँ – 954 – 459 = 495
दोहराएँ-
• 495 का अवरोही क्रम – 954
• 495 का आरोही क्रम – 459
• घटाएँ- 954 – 459 = 495
परिणाम – संख्या 495 दोहराना शुरू होती है। जब कापरेकर की प्रक्रिया को 3- अंकीय संख्याओं पर लागू करते हैं, तब संख्या 495 अक्सर पहुँच जाती है और दोहराना शुरू कर देती है। इस संख्या को 3- अंकीय संख्याओं के लिए कापरेकर स्थिरांक के रूप में जाना जाता है।
(पृष्ठ 64)
प्रश्न 1.
12 घंटे की घड़ी में इस प्रकार के सभी संभव समयों को ज्ञात करने का प्रयास कीजिए। उदाहरण के लिए 4:44, 10:10 और 12:21
हल:
: 01:10, 02:20, 03:30, 04:40, 05:50, 10:01, 11:11, 12:21
प्रश्न 2.
बीते हुए समय से इसी प्रकार की सभी संभावित तिथियों को ज्ञात कीजिए।
हल:
: 11/02/2011, 22/02/2022, 01/10/2010, 10/01/2010, 02/02/2020
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 64 – 65)
प्रश्न 1.
प्रतिभा अंकों ‘4’, ‘7’, ‘3’ और ‘2’ का उपयोग करके 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 7432 तथा सबसे छोटी संख्या 2347 बनाती हैं। इन दोनों संख्याओं का अंतर 7432 – 2347 2347 = 5085 है। इन दोनों संख्याओं का योगफल 9779 है। निम्नलिखित कथन को हल करने के लिए 4 अंकों को चुनिए-
(a) सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी संख्या का अंतर 5085 से अधिक हो।
(b) सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी संख्या का अंतर 5085 से कम हो।
(c) सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी संख्या का योगफल 9779 से अधिक हो।
(d) सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी संख्या का योगफल 9779 से कम हो।
हल:
प्रश्न 2.
5 अंकों के सबसे बड़े तथा सबसे छोटे पैलिंड्रोम (विलोमाक्षर) का योगफल क्या होगा? उनका अंतर क्या होगा?
हल:
स्थिति – I सबसे छोटी 5 अंकों की पैलिंड्रोम संख्या (विभिन्न अंक) – 1 2 3 2 1,
सबसे बड़ी 5 अंकों की पैलिंड्रोम संख्या ( विभिन्न अंक) 98789
योग = 12321 + 98789 = 111110
अंतर = 98789 – 12321
= 86468
स्थिति – II
सबसे बड़ी 5 अंकों की पैलिंड्रोम संख्या (समान अंक) – 99999
सबसे छोटी 5-अंकों की पैलिंड्रोम संख्या (समान अंक) – 11111
योग – 99999 + 11111 = 111110
अंतर = 99999 – 11111
= 88888
प्रश्न 3.
घड़ी में इस समय 10:01 बजे हैं। कितने मिनट लगेंगे जब तक की घड़ी अगला पैलिंड्रोम दिखाती है ? इस पैलिंड्रोम के बाद आप अगले के बारे में क्या कहेंगे?
हल:
अभी का समय – 10:01
अब अगला पैलिंड्रोम समय 11:11 है
अत: 11:11 – 10:01 = 70 मिनट।
प्रश्न 4.
संख्या 5683 को कापरेकर स्थिरांक तक पहुँचने की प्रक्रिया में कितने चरण लगेंगे?
हल:
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 66 – 67)
प्रश्न 1.
नीचे दी गई प्रत्येक स्थिति के लिए जहाँ भी संभव हो, वहाँ एक उदाहरण लिखिए।
क्या आप दी गई सभी स्थितियों के लिए उपयुक्त उदाहरण खोज पाए? यदि नहीं, तो सोचिए और चर्चा कीजिए कि इसका क्या कारण हो सकता है? ऐसे ही कुछ और प्रश्न तैयार कीजिए एवं अपने सहपाठियों को चुनौती दीजिए।
हल:
अत: 90, 250 से अधिक योग प्राप्त करने के लिए दोनों संख्याएँ 45,125 से अधिक होनी चाहिए।
(b) 6-अंकों का योग प्राप्त करने के लिए 5 अंकों और 3 अंकों को जोड़कर, 5 अंकों वाली संख्या 99,001 से अधिक होनी चाहिए।
(c) आइए 4 अंकों की सबसे छोटी संख्या 1000 लेते है।
इन्हें जोड़ने पर
जो कि एक 4 अंकों की संख्या है।
अतः 4 अंकों की संख्या से 6 अंकों की संख्या संभव नहीं है।
(d) आइए 5 अंकों की संख्याएँ 67987 और 65783 लेते हैं।
इन्हें जोड़ने पर
जो कि एक 6 अंकों की संख्या है।
(e) आइए 5 अंकों की सबसे छोटी संख्या 10000 लेते हैं।
इन्हें जोड़ने पर
जो कि एक 5 अंकों की संख्या है।
अतः 5 अंकों की संख्या से 6 अंकों की संख्या संभव नहीं है।
(j) 5- अंकीय – 5 अंकीय संख्याओं से 91,500 प्राप्त होना संभव नहीं है।
प्रश्न 2.
हमेशा, कभी-कभी, कभी नहीं?
नीचे कुछ कथन दिए गए हैं। सोचिए, खोजिए और ज्ञात कीजिए कि क्या प्रत्येक कथन ‘हमेशा सत्य है’, ‘केवल कभी-कभी सत्य है’ ‘या कभी सत्य नहीं है’। आप ऐसा क्यों सोचते हैं? अपने तर्क लिखिए और कक्षा में चर्चा कीजिए।
(a) 5 अंकों की संख्या + 5 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 5 अंकों की संख्या।
(b) 4 अंकों की संख्या + 2 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 4 अंकों की संख्या।
(c) 4 अंकों की संख्या + 2 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 6 अंकों की संख्या।
(d) 5 अंकों की संख्या 5 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 5 अंकों की संख्या।
(e) 5 अंकों की संख्या 2 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 3 अंकों की संख्या।
(पृष्ठ 67 – 68)
प्रश्न 1.
नीचे दी गई प्रत्येक आकृति में संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए। क्या हमें उन्हें एक-एक करके जोड़ना चाहिए या इसके लिए हम किसी शीघ्र विधि का उपयोग कर हल कर सकते हैं? इन प्रश्नों को हल करने के लिए आपने जिन अलग-अलग विधियों का प्रयोग किया है, उसे कक्षा में साझा कीजिए और चर्चा कीजिए।
हल:
(a) आकृति (a) में, संख्या 40 को 12 बार दोहराया गया है और संख्या 50 को 10 बार दोहराया गया है इसलिए सभी संख्याओं का योग
= 40 × 12 + 50 × 10
= 480 + 500 = 980
(b) आकृति (b) में, 1 बिंदु (•) 44 गुना है और 5 बिंदु (•) 20 गुना है
इसलिए सभी बिंदुओं का योग = 1 × 44 + 5 × 20 = 44 + 100 = 144
(c) आकृति (c) में, संख्या 32, 32 गुना है तथा संख्या 64, 16 गुना है।
अतः सभी संख्याओं का योग = 32 × 32 + 64 × 16 = 1024 + 1024 = 2048
(d) आकृति (d) में, 3 बिंदु (•) 17 गुना हैं और 4 बिंदु (•) 18 गुना है।
इसलिए सभी बिंदुओं का योग = 17 × 3 + 18 × 4 = 51 + 72 = 123
(e) आकृति (e) में, संख्या 15, 22 गुना है, संख्या 25, 22 गुना है तथा संख्या 35, 22 गुना है।
अतः सभी संख्याओं का योग 15 × 22 + 25 × 22 + 35 × 22 = 330 + 550 + 770 = 1650
(f) आकृति (f) में, संख्या 125, 18 गुना है, संख्या 250, 8 गुना है और संख्या 500, 4 गुना है तथा संख्या 1000 एक गुना है। अतः सभी संख्याओं का योग
= 125 × 18 + 250 × 8 + 500 × 4 + 1000 = 2250 + 2000+ 2000+ 1000 = 7250
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 72 – 73)
प्रश्न 1.
यहाँ इस ग्रिड में, केवल एक महाकोष्ठ है (अपने पड़ोस की सभी संख्याओं में बड़ी संख्या)। यदि आप इनमें से किसी एक संख्या के दो अंकों की अदला-बदली करते हैं, तो यहाँ 4 महाकोष्ठ बन जाते हैं। जानिए कि कौन-से अंकों की अदला-बदली की जानी चाहिए।
हल:
यदि हम केंद्रीय संख्या 62,871 के पहले और अंतिम अंक को बदल दें, तो हमें वांछित परिणाम मिल जाएगा।
| 16,200 | 39,344 | 29,765 |
| 23,609 | 21,876 | 45,306 |
| 19,381 | 50,319 | 38,408 |
प्रश्न 2.
अपने जन्म वर्ष से शुरू करके आप कितने चरण में कापरेकर स्थिरांक पर पहुँच जाएँगे?
हल:
जो कि एक कापरेकर स्थिरांक है।
अतः 2000 से कापरेकर स्थिरांक तक पहुँचने में 4 चरण लगे।
प्रश्न 3.
हम 35,000 और 75,000 के बीच पाँच अंकों की संख्याओं का वह समूह है, जिसके सभी अंक विषम हैं। हमारे समूह की सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है ? हमारे समूह की सबसे छोटी संख्या कौन-सी है? हम में से कौन-सी संख्या 50,000 के अत्यधिक निकट है?
हल:
सभी विषम अंकों वाली सबसे बड़ी संख्या (अलग-अलग) = 73951
सभी विषम अंकों वाली सबसे बड़ी संख्या (पुनरावृत्ति) = 73999
सबसे छोटी संख्या (पुनरावृत्ति नहीं) = 35,179
सबसे छोटी संख्या (पुनरावृत्ति) = 57111
50,000 के अत्यधिक निकट (पुनरावृत्ति न होने की स्थिति में) = 49751 50,000 के अत्यधिक निकट = (पुनरावृत्ति होने की स्थिति में) = 49999
प्रश्न 4.
आकलन कीजिए कि आपको वर्ष में सप्ताहांतों (Weakends), त्योहारों और छुट्टियों को मिलाकर कुल कितनी छुट्टियाँ मिलती हैं। अब अपनी छुट्टियों की सही संख्या का पता लगाइए और . देखिए कि सही संख्या आपके आकलन के कितना समीप है।
हल:
विद्यार्थी स्वयं करें।
प्रश्न 5.
एक जग, एक बाल्टी और एक छत पर रखी टंकी की क्षमता का लीटर में आकलन कीजिए।
हल:
विद्यार्थी स्वयं करें।
प्रश्न 6.
एक 5 अंकों की संख्या तथा दो 3 अंकों की संख्याएँ इस प्रकार लिखिए कि उनका योगफल 18,670 हो ।
हल:
प्रश्न 7.
210 और 390 के बीच एक संख्या चुनिए। अनुच्छेद 3.9 में दिए गए संख्या पैटर्न के समान एक पैटर्न निर्मित कीजिए, जिसमें यह चुनी गई संख्या योगफल हो ।
हल:
संख्याओं का योग = 5 × 1 = 5
+ 10 × 3 = 30
+ 15 × 5 = 75
+ 20 × 7 = 140 = 250
जो 210 और 390 के बीच है।
प्रश्न 8.
अध्याय 1 की सारणी 1 से, 2 की घात का अनुक्रम याद कीजिए। इस अनुक्रम में शुरू की सभी संख्याओं के लिए कोलाट्ज अनुमान सही क्यों है?
हल:
2 की घातों का वर्ग है-
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
कोलाट्ज़ अनुमान के अनुसार संख्या 64 लें।
- 64 सम है, 2 से भाग देने पर = 32
- 32 सम है, 2 से भाग देने पर = 16
- 16 सम है, 2 से भाग देने पर = 8
- 8 सम है, 2 से भाग देने पर = 4
- 4 सम है, 2 से भाग देने पर = 2
- 2 सम है, 2 से भाग देने = 1
कोलाट्ज़ अनुमान 2 की घात वाली सभी संख्याओं के लिए सही है।
चूँकि यह 2 की घात है, और कोलाट्ज़ अनुमान में प्रत्येक चरण में सम संख्या 2 से विभाजित होती है।
प्रश्न 9.
यदि कोई व्यक्ति संख्या 100 से शुरू करता है, तो क्या कोलाट्ज अनुमान लागू होगा, इस विषय की जाँच कीजिए।
हल:
- 100 सम है, 2 से भाग देने = 50
- 50 सम है, 2 से भाग देने = 25
- 25 विषम है, इसलिए 3 से गुणा और 1 जोड़ें
25 × 3 + 1 = 76 - 76 सम है, 2 से भाग देने पर = 38
- 38 सम है, 2 से भाग देने पर = 19
- 19 विषम है, इसलिए 3 से गुणा करें और 1 जोड़ें
19 × 3 + 1 = 58 - 58 सम है, 2 से भाग देने पर = 29
- 29 विषम है, इसलिए 3 से गुणा करें और 1 जोड़ें
29 × 3 + 1 = 88 - 88 सम है, 2 से भाग देने पर = 44
- 44 सम है, 2 से भाग देने पर = 22
- 22 सम है, 2 से भाग देने पर 11
- 11 विषम है, इसलिए 3 से गुणा करें और 1 जोड़ें
11 × 3 + 1 = 34 - 34 सम है, 2 से भाग देने पर = 17
- 17 विषम है, इसलिए 3 से गुणा करें और 1 जोड़ें
17 × 3 + 1 = 52 - 52 सम है, 2 से भाग देने पर = 26
- 26 सम है, 2 से भाग देने पर = 13
- 13 विषम है, इसलिए 3 से गुणा करें और 1 जोड़े
13 × 3 + 1 = 40 - 40 सम है, 2 से भाग देने पर = 20
- 20 सम है, 2 से भाग देने पर = 10
- 10 सम है, 2 से भाग देने पर = 5
- 5 विषम है, इसलिए 3 से गुणा करें और 1 जोड़ें
5 × 3 + 1 = 16 - 16 सम है, 2 से भाग देने पर = 8
- 8 सम है, 2 से भाग देने पर = 4
- 4 सम है, 2 से भाग देने पर = 2
- 2 सम है, 2 से भाग देने पर = 1
हाँ, कोलाट्ज़ अनुमान संख्या 100 के लिए लागू होगा।